Страница 111 номер 355, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Решить неравенство (355—357). 1) \(\log_{3} (x + 2) < 3\); 2) \(\log_{8} (4 - 2x) \ge 2\); 3) \(\log_{3} (x + 1) < -2\); 4) \(\log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \ge -2\); 5) \(\log_{\frac{1}{5}} (4 - 3x) \ge -1\); 6) \(\log_{\frac{2}{3}} (2 - 5x) < -2\).
1) \(\log_{3}(x + 2) < 3\)
Область определения – \(x > -2\);
\(\log_{3}(x + 2) < \log_{3} 3^{3},\)
\(x + 2 < 27,\)
\(x < 25;\)
\(-2 < x < 25;\)
2) \(\log_{8}(4 - 2x) \geqslant 2\)
Область определения – \(4 - 2x > 0\), \(2x < 4\), \(x < 2\);
\(\log_{8}(4 - 2x) \geqslant \log_{8} 8^{2},\)
\(4 - 2x \geqslant 64,\)
\(-2x \geqslant 60,\)
\(x \leqslant -30;\)
3) \(\log_{3}(x + 1) < -2\)
Область определения – \(x > -1\);
\(\log_{3}(x + 1) < \log_{3} 3^{-2},\)
\(x + 1 < \dfrac{1}{9},\)
\(x < -\dfrac{8}{9};\)
\(-1 < x < -\dfrac{8}{9};\)
4) \(\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \geqslant -2\)
Область определения – \(x > 1\);
\(\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \geqslant \log_{\frac{1}{3}} \left( \dfrac{1}{3} \right)^{-2},\)
\(0 < \frac{1}{3} < 1\), функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывает, поэтому
\(x - 1 \leqslant 9,\)
\(x \leqslant 10;\)
\(1 < x \leqslant 10;\)
5) \(\log_{\frac{1}{5}}(4 - 3x) \geqslant -1\)
Область определения – \(4 - 3x > 0\),
\(3x < 4,\)
\(x < \dfrac{4}{3};\)
\(\log_{\frac{1}{5}}(4 - 3x) \geqslant \log_{\frac{1}{5}} \left( \dfrac{1}{5} \right)^{-1},\)
\(0 < \frac{1}{5} < 1\), функция \(y = \log_{\frac{1}{5}} x\) убывает, поэтому
\(4 - 3x \leqslant 5,\)
\(-3x \leqslant 1,\)
\(x \geqslant -\dfrac{1}{3};\)
\(-\dfrac{1}{3} \leqslant x < 1\dfrac{1}{3};\)
6) \(\log_{\frac{2}{3}}(2 - 5x) < -2\)
Область определения – \(2 - 5x > 0\),
\(5x < 2,\)
\(x < \dfrac{2}{5};\)
\(\log_{\frac{2}{3}}(2 - 5x) < \log_{\frac{2}{3}} \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-2},\)
\(0 < \frac{2}{3} < 1\), функция \(y = \log_{\frac{2}{3}} x\) убывает, поэтому
\(2 - 5x > \dfrac{9}{4},\)
\(-5x > \dfrac{1}{4},\)
\(x < -\dfrac{1}{20}.\)
