Страница 141 номер 469, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Упростить выражение: 1) \((1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)\cos^2 \alpha - 1\); 2) \(1 - \sin^2 \alpha\,(1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha)\); 3) \(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha + \frac{1}{\sin^2 \alpha}\); 4) \(\frac{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}\).
1) \((1 + \operatorname{tg}^{2} \alpha)\cos^{2} \alpha - 1 = \cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha - 1 = 0;\)
2) \(1 - \sin^{2} \alpha (1 + \operatorname{ctg}^{2} \alpha) = 1 - \sin^{2} \alpha - \cos^{2} \alpha = 1 - 1 = 0;\)
3) \(1 + \operatorname{tg}^{2} \alpha + \frac{1}{\sin^{2} \alpha} = \frac{\cos^{2} \alpha}{\cos^{2} \alpha} + \frac{\sin^{2} \alpha}{\cos^{2} \alpha} + \frac{1}{\sin^{2} \alpha} = \frac{1}{\cos^{2} \alpha} + \frac{1}{\sin^{2} \alpha} =\)
\(= \dfrac{\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha}{\cos^{2} \alpha \sin^{2} \alpha} = \dfrac{1}{\cos^{2} \alpha \sin^{2} \alpha};\)
4) \(\frac{1 + \operatorname{tg}^{2} \alpha}{1 + \operatorname{ctg}^{2} \alpha} = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2} \alpha}{1 + \frac{1}{\operatorname{tg}^{2} \alpha}} = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2} \alpha}{\frac{\operatorname{tg}^{2} \alpha + 1}{\operatorname{tg}^{2} \alpha}} = \operatorname{tg}^{2} \alpha.\)
