Страница 146 номер 483, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Вычислить: 1) \(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\), если \(\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\); 2) \(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\), если \(\cos \alpha = -\frac{1}{3}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\).
1) \(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\), если \(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)
\(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\), т.к. первая четверть.
\(\cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} \cos\alpha - \sin\dfrac{\pi}{3} \sin\alpha =\)
\(= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{\dfrac{2}{3}} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} - \dfrac{1}{2};\)
2) \(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\), если \(\cos\alpha = -\frac{1}{3}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)
\(\cos\alpha = -\frac{1}{3}\), \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\), т.к. вторая четверть.
\(\cos\left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cos\dfrac{\pi}{4} + \sin\alpha \sin\dfrac{\pi}{4} =\)
\(= -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{4 - \sqrt{2}}{6}.\)
