Страница 116 номер 397, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Решить неравенство (396—397). 1) \(4\log_{4} x - 33\log_{x} 4 \le 1\); 2) \(\log_{x} 3 \le 4\left(1 + \log_{\frac{1}{3}} x\right)\).
1) \(4\log_{4} x - 33\log_{x} 4 \leqslant 1\)
\(4\log_{4} x - 33\dfrac{\log_{4} 4}{\log_{4} x} - 1 \leqslant 0,\ \begin{cases} x > 0,\ x \neq 1 \\ \frac{4\log_{4}^{2} x - 33 - \log_{4} x}{\log_{4} x} \leqslant 0 \end{cases},\ \log_{4} x = z,\)
\(\dfrac{4z^{2} - z - 33}{z} \leqslant 0,\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 528}}{8},\)
\(z_{1} = 3,\ z_{2} = -\dfrac{11}{4},\)
\(z \leqslant -\frac{11}{4}\) или \(0 < z \leqslant 3\),
\(\begin{cases} x > 0,\ x \neq 1 \\ x \leqslant \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{11}{4}},\ 1 < x \leqslant 4^{3} \end{cases},\ 0 < x \leqslant \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{11}{4}}\) и \(1 < x \leqslant 4^{3}\);
2) \(\log_{x} 3 \leqslant 4(1 + \log_{\frac{1}{3}} x)\)
\(\dfrac{\log_{3} 3}{\log_{3} x} \leqslant 4 - 4\log_{3} x,\ \begin{cases} x > 0,\ x \neq 1 \\ \frac{1 - 4\log_{3} x + 4\log_{3}^{2} x}{\log_{3} x} \leqslant 0 \end{cases},\ \log_{3} x = z,\)
\(4z^{2} - 4z + 1 \geqslant 0\) при любом \(x\).
Тогда \(\log_{3} x < 0\) или \(4z^{2} - 4z + 1 = 0\),
\(\begin{cases} \log_{3} x < 0 \\ x > 0,\ x \neq 1 \end{cases},\ 0 < x < 1\) или \(\log_{3} x = \frac{1}{2},\ x = \sqrt{3}\).
Ответ: \(0 < x < 1\), \(x = \sqrt{3}\).
