Страница 245 номер 826, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(y = (5 - 3x)^{4}(3x - 1)^{3}\)
\(y'(x) = ((5 - 3x)^{4})'(3x - 1)^{3} + (5 - 3x)^{4}((3x - 1)^{3})' =\)
\(= -12(5 - 3x)^{3}(3x - 1)^{3} + 9(5 - 3x)^{4}(3x - 1)^{2} =\)
\(= 3(5 - 3x)^{3}(3x - 1)^{2}(15 - 9x - 12x + 4) =\)
\(= 3(5 - 3x)^{3}(3x - 1)^{2}(19 - 21x),\)
\(y'(x) < 0,\ 3 > 0\)
\((3x - 1)^{2} > 0\) при \(x \neq \frac{1}{3}\)
\((5 - 3x)^{3}(19 - 21x) < 0\)
\(x_{1} = \dfrac{5}{3},\ x_{2} = \dfrac{19}{21}.\)
\(x \in \left(\dfrac{19}{21};\ \dfrac{5}{3}\right);\)

2) \(y = (2x - 3)^{2}(3 - 2x)^{3}\)
\(y'(x) = ((2x - 3)^{2})'(3 - 2x)^{3} + (2x - 3)^{2}((3 - 2x)^{3})' =\)
\(= 4(2x - 3)(3 - 2x)^{3} - 6(2x - 3)^{2}(3 - 2x)^{2} =\)
\(= 2(2x - 3)(3 - 2x)^{2}(6 - 4x - 6x + 9) =\)
\(= 2(2x - 3)(3 - 2x)^{2}(15 - 10x) =\)
\(= -10(3 - 2x)(3 - 2x)^{2}(3 - 2x) =\)
\(= -10(3 - 2x)^{4},\)
\(y'(x) < 0\)
\(-10(3 - 2x)^{4} < 0\)
\((3 - 2x)^{4} > 0,\ x \neq \dfrac{3}{2};\)

3) \(y = \frac{3x^{2} - 1}{1 - 2x}\)
\(y'(x) = \dfrac{(3x^{2} - 1)'(1 - 2x) - (3x^{2} - 1)(1 - 2x)'}{(1 - 2x)^{2}} =\)
\(= \dfrac{6x(1 - 2x) + 2(3x^{2} - 1)}{(1 - 2x)^{2}} =\)
\(= \dfrac{6x - 12x^{2} + 6x^{2} - 2}{(1 - 2x)^{2}} = \dfrac{6x - 6x^{2} - 2}{(1 - 2x)^{2}},\)
\(y'(x) < 0\)
\((1 - 2x)^{2} > 0\)
\(6x - 6x^{2} - 2 < 0\)
\(3x^{2} - 3x + 1 > 0,\)
\(x_{1{,}2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12}}{6}\) – решений нет. Т.е. при любом \(x\), кроме \(x = \frac{1}{2}\).

Ответ: \(x \neq \frac{1}{2}\).

4) \(y = \frac{3x^{3}}{1 - 3x}\)
\(y'(x) = \dfrac{(3x^{3})'(1 - 3x) - 3x^{3}(1 - 3x)'}{(1 - 3x)^{2}} =\)
\(= \dfrac{9x^{2}(1 - 3x) + 9x^{3}}{(1 - 3x)^{2}} = \dfrac{9x^{2}(1 - 2x)}{(1 - 3x)^{2}},\)
\(y'(x) < 0\)
\((1 - 3x)^{2} > 0\)
\(9x^{2}(1 - 2x) < 0\)
\(1 - 2x < 0,\ x > \dfrac{1}{2}.\)