Страница 89 номер 261, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Решить неравенство: 1) \(8{,}4^{\frac{x - 3}{x^2 + 1}} < 1\); 2) \(2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3}(10^{3 - x})^2\); 3) \(\frac{4^x - 2^{x + 1} + 8}{2^{1 - x}} < 8^x\); 4) \(\frac{1}{3^x + 5} \le \frac{1}{3^{x + 1} - 1}\).
1) \(8{,}4^{\frac{x-3}{x^{2}+1}} < 1\)
\(\dfrac{x-3}{x^{2}+1} < 0,\)
\(x^{2} + 1 > 0,\)
\(x - 3 < 0,\)
\(x < 3;\)
2) \(2^{x^{2}} \cdot 5^{x^{2}} < 10^{-3}(10^{3-x})^{2}\)
\(10^{x^{2}} < 10^{-3+6-2x},\)
\(x^{2} + 2x - 3 < 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2},\)
\(x_{1} = 1, x_{2} = -3,\)
\(-3 < x < 1;\)
3) \(\frac{4^{x}-2^{x+1}+8}{2^{1-x}} < 8^{x}\)
\(4^{x} - 2^{x+1} + 8 < 2^{3x} \cdot 2^{1-x},\)
\(2^{2x} - 2 \cdot 2^{x} + 8 - 2 \cdot 2^{2x} < 0,\)
\(2^{2x} + 2 \cdot 2^{x} - 8 > 0,\)
\(2^{x} = z, z^{2} + 2z - 8 > 0,\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2},\)
\(z_{1} = 2, z_{2} = -4\) – не подходит;
\(z > 2,\)
\(2^{x} > 2,\)
\(x > 1;\)
4) \(\frac{1}{3^{x}+5} \leqslant \frac{1}{3^{x+1}-1}\)
\(3^{x} + 5 > 0\), поэтому неравенство верно, только если и \(3^{x+1} - 1 > 0\); при положительных знаменателях \(\frac{1}{a} \leqslant \frac{1}{b} \Leftrightarrow a \geqslant b\):
\(\begin{cases} 3^{x} + 5 \geqslant 3^{x+1} - 1 \\ 3^{x+1} - 1 > 0 \end{cases}, \begin{cases} 3^{x} - 3^{x+1} \geqslant -6 \\ x + 1 > 0 \end{cases},\)
\(\begin{cases} 3^{x}(1 - 3) \geqslant -6 \\ x > -1 \end{cases}, \begin{cases} 3^{x} \leqslant 3 \\ x > -1 \end{cases},\)
\(-1 < x \leqslant 1.\)
