Страница 154 номер 20.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Известно, что функция \(y = (f(x))^3 + f(x)\) является периодической. Докажите, что функция \(f\) также является периодической.
Пусть \(T\) — период функции \(y = (f(x))^3 + f(x)\). Её область определения совпадает с \(D(f)\), поэтому для любого \(x \in D(f)\) числа \(x - T\) и \(x + T\) принадлежат \(D(f)\) и \[\begin{aligned} (f(x - T))^3 + f(x - T) &= (f(x))^3 + f(x); \\ (f(x + T))^3 + f(x + T) &= (f(x))^3 + f(x). \end{aligned}\] Функция \(g(t) = t^3 + t\) возрастающая: если \(t_1 < t_2\), то \(t_1^3 < t_2^3\) и \(t_1^3 + t_1 < t_2^3 + t_2\); поэтому каждое своё значение она принимает только при одном значении аргумента. Записанные равенства — это \(g(f(x - T)) = g(f(x))\) и \(g(f(x + T)) = g(f(x))\), поэтому \(f(x - T) = f(x)\) и \(f(x + T) = f(x)\).
Значит, \(f(x - T) = f(x) = f(x + T)\) для любого \(x \in D(f)\), то есть число \(T\) — период функции \(f\).
Ответ: если функция \(y = (f(x))^3 + f(x)\) периодическая, то функция \(f\) тоже периодическая: каждый период первой функции является периодом функции \(f\).
Известно, что функция \(y = (f(x))^3 + f(x)\) является периодической. Докажите, что функция \(f\) также является периодической.
Пусть \(T\) — период функции \(y = (f(x))^3 + f(x)\). Её область определения совпадает с \(D(f)\), поэтому для любого \(x \in D(f)\) числа \(x - T\) и \(x + T\) принадлежат \(D(f)\) и \[\begin{aligned} (f(x - T))^3 + f(x - T) &= (f(x))^3 + f(x); \\ (f(x + T))^3 + f(x + T) &= (f(x))^3 + f(x). \end{aligned}\] Рассмотрим функцию \(g(t) = t^3 + t\). Она возрастающая: если \(t_1 < t_2\), то \(t_1^3 < t_2^3\) (функция \(y = t^3\) возрастает), и, сложив это неравенство с неравенством \(t_1 < t_2\), получим \(t_1^3 + t_1 < t_2^3 + t_2\). Возрастающая функция обратима: каждое своё значение она принимает только при одном значении аргумента. Записанные равенства означают, что \(g(f(x - T)) = g(f(x))\) и \(g(f(x + T)) = g(f(x))\), поэтому \(f(x - T) = f(x)\) и \(f(x + T) = f(x)\).
Значит, для любого \(x \in D(f)\) выполняются равенства \(f(x - T) = f(x) = f(x + T)\), то есть число \(T\) — период функции \(f\), и функция \(f\) периодическая.
Ответ: если функция \(y = (f(x))^3 + f(x)\) периодическая, то функция \(f\) тоже периодическая: каждый период первой функции является периодом функции \(f\).
