Страница 154 номер 20.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) число \(\frac{\pi}{2}\) является периодом функции \(f(x) = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x}\)?
Пусть \(a \ne 0\). При \(x = 0\) и при \(x = \frac{\pi}{2}\) знаменатель \(3a + \sin 2x\) равен \(3a + \sin 0 = 3a\) и \(3a + \sin\pi = 3a\), то есть отличен от нуля: числа \(0\) и \(\frac{\pi}{2}\) принадлежат области определения функции \(f\), и \[\begin{aligned} f(0) &= \frac{\cos 0}{3a + \sin 0} = \frac{1}{3a}; \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{\cos\pi}{3a + \sin\pi} = -\frac{1}{3a}. \end{aligned}\] \(\frac{1}{3a} \ne -\frac{1}{3a}\), то есть \(f\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) \ne f(0)\), поэтому при \(a \ne 0\) число \(\frac{\pi}{2}\) не является периодом функции \(f\).
Пусть \(a = 0\). Тогда \(f(x) = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \operatorname{ctg} 2x\), и число \(\frac{\pi}{2}\) — главный период функции \(y = \operatorname{ctg} 2x\), а значит, и период функции \(f\).
Ответ: \(a = 0\).
При каких значениях параметра \(a\) число \(\frac{\pi}{2}\) является периодом функции \(f(x) = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x}\)?
Пусть \(a \ne 0\). При \(x = 0\) и при \(x = \frac{\pi}{2}\) знаменатель \(3a + \sin 2x\) равен \(3a + \sin 0 = 3a\) и \(3a + \sin\pi = 3a\), то есть отличен от нуля. Значит, числа \(0\) и \(\frac{\pi}{2}\) принадлежат области определения функции \(f\), и \[\begin{aligned} f(0) &= \frac{\cos 0}{3a + \sin 0} = \frac{1}{3a}; \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{\cos\pi}{3a + \sin\pi} = -\frac{1}{3a}. \end{aligned}\] Так как \(\frac{1}{3a} \ne -\frac{1}{3a}\), равенство \(f\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) = f(0)\) не выполняется. Следовательно, при \(a \ne 0\) число \(\frac{\pi}{2}\) не является периодом функции \(f\).
Пусть \(a = 0\). Тогда \(f(x) = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \operatorname{ctg} 2x\). Главный период функции \(y = \operatorname{ctg}(kx + b)\), где \(k \ne 0\), равен \(\frac{\pi}{|k|}\); здесь \(k = 2\), поэтому число \(\frac{\pi}{2}\) — главный период, а значит, и период функции \(f\).
Ответ: \(a = 0\).
