Вопросы после параграфа §21 на странице 162, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Функция \(y = \sin x\).

Область определения: \(\mathbf{R}\) — синус определён для любого числа.

Область значений: \([-1;\ 1]\) — ордината точки единичной окружности принимает все значения от \(-1\) до \(1\).

Периодичность: функция периодическая, её главный период равен \(2\pi\).

Нули функции: числа вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Промежутки знакопостоянства: \(\sin x > 0\) на каждом из промежутков вида \((2\pi n;\ \pi + 2\pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\);
\(\sin x < 0\) на каждом из промежутков вида \((\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Чётность: функция нечётная, \(\sin(-x) = -\sin x\).

Возрастание и убывание: функция возрастает на каждом из промежутков вида \(\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\), и убывает на каждом из промежутков вида \(\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Наибольшее и наименьшее значения: наибольшее значение, равное \(1\), функция принимает в точках вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); наименьшее значение, равное \(-1\), — в точках вида \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Функция \(y = \cos x\).

Область определения: \(\mathbf{R}\) — косинус определён для любого числа.

Область значений: \([-1;\ 1]\) — абсцисса точки единичной окружности принимает все значения от \(-1\) до \(1\).

Периодичность: функция периодическая, её главный период равен \(2\pi\).

Нули функции: числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Промежутки знакопостоянства: \(\cos x > 0\) на каждом из промежутков вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\);
\(\cos x < 0\) на каждом из промежутков вида \(\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Чётность: функция чётная, \(\cos(-x) = \cos x\).

Возрастание и убывание: функция возрастает на каждом из промежутков вида \([\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n]\), \(n \in \mathbf{Z}\), и убывает на каждом из промежутков вида \([2\pi n;\ \pi + 2\pi n]\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Наибольшее и наименьшее значения: наибольшее значение, равное \(1\), функция принимает в точках вида \(2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); наименьшее значение, равное \(-1\), — в точках вида \(\pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Ответ: функция \(y = \sin x\): область определения \(\mathbf{R}\), область значений \([-1;\ 1]\), главный период \(2\pi\), нули \(\pi n\), \(\sin x > 0\) на промежутках \((2\pi n;\ \pi + 2\pi n)\) и \(\sin x < 0\) на промежутках \((\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n)\), функция нечётная, возрастает на промежутках \(\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right]\) и убывает на промежутках \(\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right]\), наибольшее значение \(1\) — в точках \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), наименьшее значение \(-1\) — в точках \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\); функция \(y = \cos x\): область определения \(\mathbf{R}\), область значений \([-1;\ 1]\), главный период \(2\pi\), нули \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(\cos x > 0\) на промежутках \(\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)\) и \(\cos x < 0\) на промежутках \(\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)\), функция чётная, возрастает на промежутках \([\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n]\) и убывает на промежутках \([2\pi n;\ \pi + 2\pi n]\), наибольшее значение \(1\) — в точках \(2\pi n\), наименьшее значение \(-1\) — в точках \(\pi + 2\pi n\) (везде \(n \in \mathbf{Z}\)).

График функции \(y = \sin x\) называют синусоидой, а график функции \(y = \cos x\) — косинусоидой.

Ответ: синусоида; косинусоида.

При любом \(x\) верно равенство \(\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\): при повороте вокруг начала координат на угол \(\frac{\pi}{2}\) против часовой стрелки точка \(R_O^{x}(P_0)\) переходит в точку \(R_O^{x + \frac{\pi}{2}}(P_0)\), и ордината полученной точки равна абсциссе исходной.

Значит, график функции \(y = \cos x\) совпадает с графиком функции \(y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\), а его получают из синусоиды параллельным переносом на вектор с координатами \(\left(-\frac{\pi}{2};\ 0\right)\), то есть сдвигом влево на \(\frac{\pi}{2}\): например, точка \(\left(\frac{\pi}{2};\ 1\right)\) синусоиды переходит в точку \((0;\ 1)\) косинусоиды.

Параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит любую фигуру в равную ей фигуру. Значит, синусоида и косинусоида — равные фигуры.

Ответ: график функции \(y = \cos x\) получается из графика функции \(y = \sin x\) параллельным переносом на вектор \(\left(-\frac{\pi}{2};\ 0\right)\), так как \(\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\); фигуры, которые совмещаются параллельным переносом, равны.