Страница 199 номер 686, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\begin{cases} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3} \\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{3} \end{cases}\)
\(\begin{aligned} &\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y = {} \\ &= \dfrac{5}{3}\sin y\cos y + \dfrac{1}{3}\sin y\cos y = \sin{2y}, \end{aligned}\)
\(\begin{cases} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3} \\ \frac{\sin{(x + y)}}{\sin{2y}} = 1 \end{cases},\)
\(\begin{cases} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3} \\ 2\sin\frac{x - y}{2}\cos\frac{x + 3y}{2} = 0 \end{cases},\)
\(\sin\frac{x - y}{2} = 0\) или \(\cos\frac{x + 3y}{2} = 0\)
\(x - y = 2\pi n\) – не удовлетворяет первому уравнению;
\(x + 3y = \pi + 2\pi n, n \in Z;\)
\(\dfrac{\sin(\pi - 3y)}{\sin y} = \dfrac{5}{3},\)
\(\dfrac{\sin{3y}}{\sin y} = \dfrac{5}{3},\)
\(\dfrac{3\sin y - 4\sin^{3}y}{\sin y} = \dfrac{5}{3},\)
\(3 - \dfrac{5}{3} = 4\sin^{2}y,\)
\(\sin y = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}},\)
\(\sin y \neq 0\), \(\cos^{2}y = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \neq 0\) – уравнения системы имеют смысл;
\(y = \pm \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \pi m,\)
\(x = \pi \mp 3\arcsin\dfrac{1}{\sqrt{3}} - 3\pi m + 2\pi n, n,\ m \in Z;\)

2) \(\begin{cases} \sin x\cos y = \frac{1}{2} \\ \cos x\sin y = - \frac{1}{2} \end{cases}\)
\(\begin{cases} \sin{(x + y)} = 0 \\ \sin(x - y) = 1 \end{cases},\)
\(\begin{cases} x + y = \pi n \\ x - y = \frac{\pi}{2} + 2\pi m \end{cases},\)
\(y = \pi n - x,\)
\(2x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n + 2\pi m,\)
\(x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2}n + \pi m,\)
\(y = \dfrac{\pi}{2}n - \dfrac{\pi}{4} - \pi m, n,\ m \in Z.\)