Страница 199 номер 681, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\sin{2x} + \cos{2x} = 2\operatorname{tg} x + 1\)
\(2\sin x\cos x + 1 - 2\sin^{2}x = 2\operatorname{tg} x + 1,\)
\(2\sin x\left( \dfrac{1}{\cos x} + \sin x - \cos x \right) = 0,\)
\(2\sin x\left( \operatorname{tg}^{2}x + 1 + \operatorname{tg} x - 1 \right) = 0,\)
\(2\sin x\operatorname{tg} x = 0\) или \(\operatorname{tg} x + 1 = 0\)
\(\frac{2\sin^{2}x}{\cos x} = 0\) или \(\operatorname{tg} x = - 1\)
\(\sin x = 0\), \(\cos x = \pm 1 \neq 0\) – тангенс существует;
\(x_{1} = \pi n,\)
\(x_{2} = - \dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z;\)

2) \(\sin{2x} - \cos{2x} = \operatorname{tg} x\)
\(2\sin x\cos x\cos x - \cos x\left( 1 - 2\sin^{2}x \right) = \sin x,\)
\(2\sin x\cos^{2}x + 2\sin^{2}x\cos x = \sin x + \cos x,\)
\(\sin{2x}\left( \cos x + \sin x \right) = \sin x + \cos x,\)
\(\left( \sin x + \cos x \right)\left( \sin{2x} - 1 \right) = 0,\)
\(\operatorname{tg} x = - 1\) или \(\sin{2x} = 1\)
\(\sin{2x} = 2\sin x\cos x = 1\), \(\cos x \neq 0\) – тангенс существует;
\(x_{1} = - \dfrac{\pi}{4} + \pi n,\)
\(x_{2} = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z.\)

Ответ: \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n\), \(n \in Z\).