Номер №4, ГДЗ по геометрии за 10, 11 класс к учебнику Атанасяна

Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ и CD пересекаться?

а) Дано: точки A,B,C,D не лежат в одной плоскости
Доказать: никакие три из точек не лежат на одной прямой
Доказательство:
Допустим, что три точки из данных, например, A,B,C лежат на одной прямой a, а точка D не лежит на этой прямой. Известно, что через прямую a и не лежащую на ней точку D можно провести плоскость, и притом только одну.
Следовательно, все четыре точки A,B,C,D лежат в одной плоскости.
Но это противоречит условию.
Следовательно, наше допущение неверно, и никакие три точки из данных не могут лежать на одной прямой.
Что и требовалось доказать.

б) Дано: точки A,B,C,D не лежат в одной плоскости
Доказать: прямые AB и CD не пересекаются
Доказательство:
Допустим, что прямые AB и CD пересекаются в некоторой точке M:
M=ABCD
Тогда через три точки A,C и M можно провести плоскость:
=ACM,A,C,M
,CM
Точка M принадлежит прямой AB. Следовательно AM=AB - прямые совпадают.
Точка M принадлежит прямой CD. Следовательно CM=CD - прямые совпадают.
Т.е., все четыре точки A,B,C,D лежат в одной плоскости.
Но это противоречит условию.
Следовательно, наше допущение неверно, и прямые AB и CD не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Ответ: а) нет; б) нет