Страница 193 номер 641, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Глава 6. Тригонометрические уравнения. §36. Решение тригонометрических уравнений. Страница 193. Номер 641

Задание / условие:

Решить уравнение (620—644). 1) \(\frac{\cos 2x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos 2x} = 1\); 2) \(\sin x + \frac{1}{\sin x} = \sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}\).

Решение:

1) \(\frac{\cos{2x}}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos{2x}} = 1\)
\(\dfrac{\cos{2x}}{\cos x} = z, z + \dfrac{1}{z} - 1 = 0,\)
\(z^{2} - z + 1 = 0,\)
\(D < 0\) – корней нет;

2) \(\sin x + \frac{1}{\sin x} = \sin^{2}x + \frac{1}{\sin^{2}x}\)
\(\sin x = z,\)
\(z + \dfrac{1}{z} = z^{2} + \dfrac{1}{z^{2}},\)
\(z^{3} + z - z^{4} - 1 = 0,\)
\(z^{3}(z - 1) - z + 1 = 0,\)
\((z - 1)\left( z^{3} - 1 \right) = 0,\)
\(z - 1 = 0\) или \(z^{3} - 1 = 0\)
\(z = 1\)
\(\sin x = 1,\)
\(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z.\)