Темы исследовательских работ на странице 80, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Уравнение четвёртой степени и число его корней.
2. Разложение на множители и подбор корней.
3. Биквадратные уравнения.
4. Замена переменной в уравнениях особого вида.
5. Оценка выражений.

Презентация к докладу: «Методы решения уравнений 4-й степени», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Уравнение четвёртой степени и число его корней. Уравнение \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\), где \(a \ne 0\), — целое уравнение четвёртой степени; оно имеет не больше четырёх корней. Общий способ решения таких уравнений нашёл в XVI веке итальянский математик Лудовико Феррари: уравнение сводится к вспомогательному кубическому уравнению, но получающиеся формулы очень громоздки. Поэтому на практике пользуются приёмами, которые понижают степень уравнения, — разложением на множители и заменой переменной, а доказать, что корней нет или что корень единственный, помогает оценка выражений.

2. Разложение на множители и подбор корней. Иногда левую часть удаётся разложить на множители группировкой: \(x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x = x^3(x - 1) - 4x(x - 1) = (x - 1)(x^3 - 4x) = x(x - 1)(x - 2)(x + 2)\), поэтому уравнение \(x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x = 0\) имеет корни \(-2\); 0; 1; 2. Если коэффициенты многочлена целые, то его целые корни ищут среди делителей свободного члена, проверяя каждый подстановкой, а рациональные корни — среди несократимых дробей \(\frac{m}{n}\), у которых \(m\) — делитель свободного члена (не равного нулю), а \(n\) — делитель старшего коэффициента. Например, у уравнения \(x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = 0\) корнями оказываются два делителя числа 6 — числа 1 и \(-1\), и группировка даёт \(x^4 - x^2 + x^3 - x - 6x^2 + 6 = (x^2 - 1)(x^2 + x - 6)\), откуда корни уравнения: \(-3\); \(-1\); 1; 2.

3. Биквадратные уравнения. Уравнение \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), где \(a \ne 0\), заменой \(x^2 = t\) сводится к квадратному уравнению \(at^2 + bt + c = 0\). Каждый его положительный корень \(t\) даёт два корня уравнения \(x^2 = t\), корень \(t = 0\) — один корень \(x = 0\), а отрицательный корень \(t\) корней не даёт; поэтому биквадратное уравнение может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 корня. Например, уравнение \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\) даёт \(4t^2 - 17t + 4 = 0\), \(D = 289 - 64 = 225\), \(t = \frac{1}{4}\) или \(t = 4\), откуда четыре корня: \(-2\); \(-0{,}5\); \(0{,}5\); 2.

4. Замена переменной в уравнениях особого вида.
- В уравнении \((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24\) перемножим первый множитель с четвёртым, а второй с третьим: \((x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 24\). Замена \(x^2 + 5x = t\) даёт \((t + 4)(t + 6) = 24\), \(t^2 + 10t = 0\), \(t = 0\) или \(t = -10\). Уравнение \(x^2 + 5x = 0\) имеет корни \(-5\) и 0, а уравнение \(x^2 + 5x + 10 = 0\) корней не имеет: \(D = 25 - 40 < 0\).
- У возвратного уравнения \(x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0\) коэффициенты, равноотстоящие от концов, равны. Число 0 не является его корнем, поэтому обе части уравнения можно разделить на \(x^2\): \(x^2 + \frac{1}{x^2} - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0\). Замена \(x + \frac{1}{x} = t\), при которой \(x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2\), даёт \(t^2 - 5t + 4 = 0\), \(t = 1\) или \(t = 4\). Уравнение \(x + \frac{1}{x} = 1\) после умножения обеих частей на \(x \ne 0\) принимает вид \(x^2 - x + 1 = 0\) и корней не имеет (\(D = -3 < 0\)), а уравнение \(x + \frac{1}{x} = 4\) — вид \(x^2 - 4x + 1 = 0\), откуда \(x = 2 - \sqrt{3}\) или \(x = 2 + \sqrt{3}\).
- В уравнении \((x - 1)^4 + (x - 3)^4 = 82\) удобна замена \(x - 2 = t\): тогда \((t + 1)^4 + (t - 1)^4 = 2t^4 + 12t^2 + 2\), и уравнение становится биквадратным: \(t^4 + 6t^2 - 40 = 0\), откуда \(t^2 = 4\) (уравнение \(t^2 = -10\) корней не имеет: квадрат числа неотрицателен), \(t = -2\) или \(t = 2\), то есть \(x = 0\) или \(x = 4\).

5. Оценка выражений. Если левую часть уравнения \(P(x) = 0\) можно представить как сумму неотрицательных слагаемых и положительного числа, уравнение корней не имеет. Например, \(x^4 + 4x^3 + 4x^2 = (x^2 + 2x)^2\), поэтому \(x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 1 = (x^2 + 2x)^2 + 1 \geqslant 1 > 0\), и уравнение \(x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 1 = 0\) корней не имеет. Оценка помогает и тогда, когда корни есть: левая часть уравнения \(x^4 - x^2 - 2x + 2 = 0\) равна \((x^2 - 1)^2 + (x - 1)^2\), а сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда оба они равны нулю, то есть при \(x^2 = 1\) и \(x = 1\). Значит, единственный корень этого уравнения — число 1.

Резюме: Таким образом, хотя общий способ решения уравнений четвёртой степени существует (способ Феррари), на практике их решают приёмами, понижающими степень: разложением на множители — группировкой и с помощью целых и рациональных корней, заменой переменной — в биквадратных уравнениях, в произведении четырёх множителей, в возвратных уравнениях, при симметричной замене, а оценку выражений используют, чтобы доказать, что корней нет или что корень единственный. Найденные корни стоит проверять подстановкой, помня, что уравнение четвёртой степени имеет не больше четырёх корней.