Темы исследовательских работ на странице 80, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Уравнения в Древнем Вавилоне и Древнем Египте.
2. Диофант и его «Арифметика».
3. Аль-Хорезми: от «аль-джабр» к алгебре.
4. Уравнения третьей и четвёртой степеней в Италии XVI века.
5. Буквенная запись уравнений и теорема Абеля.

Презентация к докладу: «История развития учения об уравнениях», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Уравнения в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. Задачи, которые сегодня записывают уравнениями, решали уже около четырёх тысяч лет назад. На глиняных табличках Древнего Вавилона (около 2000 г. до н. э.) есть задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, и правила их решения, по сути совпадающие с выделением полного квадрата. Правила давались словами на конкретных числах, без букв и без отрицательных чисел. В одной из задач сумма площади квадрата и его стороны равна \(\frac{3}{4}\), то есть \(x^2 + x = \frac{3}{4}\). Решение таково: половину единицы, \(\frac{1}{2}\), возвести в квадрат — получится \(\frac{1}{4}\), прибавить \(\frac{3}{4}\) — получится 1, извлечь квадратный корень — 1 и вычесть \(\frac{1}{2}\); сторона квадрата равна \(\frac{1}{2}\). В египетском папирусе Ахмеса (около 1650 г. до н. э.) решаются линейные уравнения, например «количество и его седьмая часть дают 19», то есть \(x + \frac{x}{7} = 19\). Египтяне применяли метод ложного положения: пробное значение 7 даёт \(7 + 1 = 8\) вместо 19, поэтому его умножают на \(\frac{19}{8}\): \(x = 7 \cdot \frac{19}{8} = \frac{133}{8} = 16\frac{5}{8}\).

2. Диофант и его «Арифметика». Древнегреческий математик Диофант Александрийский (III в.) в сочинении «Арифметика» ввёл сокращённые обозначения для неизвестного и его степеней и решал уравнения первой и второй степени, а также неопределённые уравнения, в которых неизвестных больше, чем уравнений, отыскивая решения в рациональных числах; отрицательные решения он отбрасывал. Первая задача «Арифметики»: разделить число 100 на два числа, разность которых равна 40. Если меньшее число равно \(x\), то большее равно \(x + 40\), и \(2x + 40 = 100\), откуда \(x = 30\): искомые числа — 30 и 70. Уравнения, решения которых ищут в целых числах, в честь Диофанта называют диофантовыми.

3. Аль-Хорезми: от «аль-джабр» к алгебре. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (IX в.), работавший в Багдаде, написал трактат «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы». «Аль-джабр» — восполнение: перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; «аль-мукабала» — противопоставление: сокращение одинаковых членов в обеих частях. От слова «аль-джабр» произошло слово «алгебра», а от латинской формы имени учёного — слово «алгоритм». Аль-Хорезми разделил линейные и квадратные уравнения с положительными коэффициентами на шесть видов и для каждого вида дал правило решения, а правила для полных квадратных уравнений обосновал геометрически — достраиванием до квадрата. Его пример: «квадрат и десять корней равны тридцати девяти», то есть \(x^2 + 10x = 39\). Прибавив 25 к обеим частям, получаем \((x + 5)^2 = 64\), \(x + 5 = 8\), \(x = 3\); отрицательный корень \(-13\) он не рассматривал.

4. Уравнения третьей и четвёртой степеней в Италии XVI века. Около 1515 года профессор Болонского университета Сципион дель Ферро нашёл способ решения кубических уравнений вида \(x^3 + px = q\), но не опубликовал его. В 1535 году Никколо Тарталья независимо нашёл этот способ и победил в математическом поединке Антонио Фиоре — ученика дель Ферро. Джероламо Кардано узнал способ от Тартальи и в 1545 году опубликовал его в книге «Великое искусство»; с тех пор формулу корней кубического уравнения называют формулой Кардано, хотя открыли её дель Ферро и Тарталья. В той же книге изложен способ решения уравнений четвёртой степени, найденный учеником Кардано Лудовико Феррари: уравнение четвёртой степени сводится к вспомогательному кубическому.

5. Буквенная запись уравнений и теорема Абеля. Долгое время уравнения записывали словами. Французский математик Франсуа Виет (1540—1603) стал обозначать буквами не только неизвестные, но и известные величины: неизвестные — гласными, данные — согласными. Это позволило записывать уравнения в общем виде и находить общие закономерности, например связь корней квадратного уравнения с его коэффициентами (теорема Виета). Рене Декарт в «Геометрии» (1637) обозначил неизвестные последними буквами латинского алфавита \(x\), \(y\), \(z\), а известные величины — первыми, \(a\), \(b\), \(c\), и стал записывать степени с помощью показателя, например \(x^3\); этой записью пользуются до сих пор. Формулы корней уравнений третьей и четвёртой степеней громоздки, а общую формулу для уравнений пятой степени математики искали почти три века. В 1824 году норвежский математик Нильс Хенрик Абель доказал, что общей формулы, выражающей корни уравнения пятой и более высокой степени через коэффициенты с помощью арифметических действий и извлечения корней, не существует.

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что учение об уравнениях прошло долгий путь: от словесных правил решения отдельных задач в Древнем Вавилоне и Египте через сокращённые обозначения Диофанта и общие приёмы аль-Хорезми, давшие имя алгебре, к формулам для уравнений третьей и четвёртой степеней, найденным итальянскими математиками XVI века, и к буквенной записи Виета и Декарта, которой пользуются и сегодня. Теорема Абеля показала, что для уравнений пятой степени и выше общей формулы корней нет, поэтому наряду с формулами важны частные приёмы — разложение на множители, замена переменной, свойства функций.