Темы исследовательских работ на странице 64, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Задачи физики, биологии, астрономии, архитектуры, приводящие к решению квадратных неравенств.
План доклада:
1. От задачи к квадратному неравенству.
2. Физика: брошенное тело и остановочный путь автомобиля.
3. Биология: прирост численности популяции.
4. Астрономия: бросок на Луне и на Земле.
5. Архитектура: проезд под параболической аркой.
Презентация к докладу: «Задачи физики, биологии, астрономии, архитектуры, приводящие к решению квадратных неравенств», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. От задачи к квадратному неравенству. Если \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a \ne 0\), то вопрос «При каких \(x\) величина \(y\) не меньше (не больше) заданного числа?» приводит к квадратному неравенству. Его решают по корням трёхчлена и направлению ветвей параболы, отбирая решения по смыслу задачи.
2. Физика: брошенное тело и остановочный путь автомобиля. Высота тела, брошенного вверх со скоростью 20 м/с, при \(g \approx 10\) м/с² равна \(h = 20t - 5t^2\). Неравенство \(20t - 5t^2 \geqslant 15\) после деления на \(-5\) со сменой знака принимает вид \(t^2 - 4t + 3 \leqslant 0\), откуда \(1 \leqslant t \leqslant 3\): на высоте не меньше 15 м тело находится 2 с. Остановочный путь автомобиля при времени реакции 1 с и торможении с ускорением 5 м/с² равен \(s = v + \frac{v^2}{10}\) (м); он не длиннее 20 м, если \(v^2 + 10v - 200 \leqslant 0\), и с учётом \(v > 0\) получаем \(0 < v \leqslant 10\) м/с — не больше 36 км/ч.
3. Биология: прирост численности популяции. Годовой прирост популяции равен \(v = aN - bN^2\), где \(N\) — её численность, \(a > 0\) и \(b > 0\). При \(v = 0{,}3N - 0{,}001N^2\) (в тысячах особей) популяция растёт, если \(N < 300\). Прирост не меньше 20 тыс. особей в год, если \(N^2 - 300N + 20\,000 \leqslant 0\), то есть \(100 \leqslant N \leqslant 200\); наибольший прирост, \(22{,}5\) тыс. особей, — при \(N = 150\).
4. Астрономия: бросок на Луне и на Земле. На Луне \(g \approx 1{,}6\) м/с². Тело брошено вверх со скоростью 8 м/с: на Луне \(h = 8t - 0{,}8t^2\), неравенство \(h \geqslant 15\) сводится к \(t^2 - 10t + 18{,}75 \leqslant 0\), корни \(2{,}5\) и \(7{,}5\) — на такой высоте тело находится 5 с. На Земле \(h = 8t - 5t^2\), и неравенство \(5t^2 - 8t + 15 \leqslant 0\) решений не имеет: \(D = -236 < 0\), ветви направлены вверх.
5. Архитектура: проезд под параболической аркой. Если ось \(x\) направить по линии опор, а ось \(y\) — через верхнюю точку арки пролётом \(L\) и высотой \(h\), то арка — парабола \(y = h - \frac{4h}{L^2}x^2\). Для пролёта 24 м и высоты 9 м неравенство \(9 - \frac{x^2}{16} \geqslant 5\) даёт \(x^2 \leqslant 64\), то есть \(-8 \leqslant x \leqslant 8\): проезд для машин высотой до 5 м возможен лишь в полосе шириной 16 м посередине пролёта.
Резюме: Таким образом, задачи физики, биологии, астрономии и архитектуры, в которых одна величина зависит от другой по квадратичному закону (высота брошенного тела, остановочный путь автомобиля, прирост популяции, высота арки), приводят к квадратным неравенствам. Их решают по одной схеме: составляют модель, решают квадратное неравенство по корням трёхчлена и направлению ветвей параболы и отбирают решения по смыслу задачи. Если дискриминант трёхчлена отрицателен, трёхчлен при всех значениях переменной имеет знак старшего коэффициента, и неравенство выполняется либо всегда, либо никогда: так, на Земле тело, брошенное вверх со скоростью 8 м/с, не поднимется на 15 м. Вершина же параболы даёт наибольшее значение величины — наибольшую высоту подъёма или наибольший прирост популяции.
Задачи физики, биологии, астрономии, архитектуры, приводящие к решению квадратных неравенств.
План доклада:
1. От задачи к квадратному неравенству.
2. Физика: брошенное тело и остановочный путь автомобиля.
3. Биология: прирост численности популяции.
4. Астрономия: бросок на Луне и на Земле.
5. Архитектура: проезд под параболической аркой.
Презентация к докладу: «Задачи физики, биологии, астрономии, архитектуры, приводящие к решению квадратных неравенств», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. От задачи к квадратному неравенству. Во многих явлениях одна величина зависит от другой по квадратичному закону \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a \ne 0\). Вопрос «При каких значениях \(x\) величина \(y\) не меньше (не больше) заданного числа?» приводит к квадратному неравенству. Решение строится в четыре шага: записывают модель — формулу зависимости, которую даёт условие задачи или известный закон природы; составляют неравенство и переносят все его слагаемые в одну часть; находят корни квадратного трёхчлена и по направлению ветвей параболы выбирают нужный промежуток; отбирают решения по смыслу задачи (время, скорость, численность не бывают отрицательными) и отвечают на её вопрос — иногда ответом служит не сам промежуток, а его длина.
2. Физика: брошенное тело и остановочный путь автомобиля. Высота тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0\), через \(t\) с после броска равна \(h = v_0t - \frac{gt^2}{2}\) (известный закон физики; сопротивление воздуха не учитываем). При \(v_0 = 20\) м/с и \(g \approx 10\) м/с² получаем \(h = 20t - 5t^2\). Сколько времени тело находится на высоте не меньше 15 м? Перенесём 15 в левую часть неравенства \(20t - 5t^2 \geqslant 15\) и разделим обе части на \(-5\), изменив знак неравенства на противоположный: \(t^2 - 4t + 3 \leqslant 0\). Корни трёхчлена — 1 и 3, ветви параболы направлены вверх, поэтому \(1 \leqslant t \leqslant 3\): на такой высоте тело находится 2 с.
Остановочный путь автомобиля складывается из пути, пройденного за время реакции водителя, и тормозного пути. При времени реакции 1 с и торможении с ускорением 5 м/с² он равен \(s = v + \frac{v^2}{10}\) (м), где \(v\) — скорость в м/с (по формулам равномерного и равноускоренного движения). При какой скорости автомобиль успеет остановиться на пути не длиннее 20 м? Умножим обе части неравенства \(v + \frac{v^2}{10} \leqslant 20\) на 10 и перенесём 200 в левую часть: \(v^2 + 10v - 200 \leqslant 0\). Корни трёхчлена — \(-20\) и 10, поэтому \(-20 \leqslant v \leqslant 10\). Скорость положительна, значит, \(0 < v \leqslant 10\) м/с, то есть не больше 36 км/ч.
3. Биология: прирост численности популяции. В экологии используют модель, в которой годовой прирост численности популяции \(v\) зависит от её численности \(N\) по закону \(v = aN - bN^2\), где \(a\) и \(b\) — положительные числа: пока особей мало, прирост растёт вместе с \(N\), а при большой численности его сдерживает нехватка пищи и места. Пусть по условию \(v = 0{,}3N - 0{,}001N^2\), где \(N\) и \(v\) измеряются в тысячах особей. Так как \(v = N(0{,}3 - 0{,}001N)\) и \(N > 0\), популяция растёт (\(v > 0\)), когда \(0{,}3 - 0{,}001N > 0\), то есть при \(N < 300\); при \(N > 300\) численность убывает. Прирост не меньше 20 тыс. особей в год, если \(0{,}3N - 0{,}001N^2 \geqslant 20\). Перенесём 20 в левую часть и умножим обе части на \(-1000\), изменив знак неравенства на противоположный: \(N^2 - 300N + 20\,000 \leqslant 0\). Корни трёхчлена — 100 и 200, поэтому \(100 \leqslant N \leqslant 200\). Наибольший прирост — в вершине параболы, при \(N = 150\): \(0{,}3 \cdot 150 - 0{,}001 \cdot 150^2 = 22{,}5\) (тыс. особей).
4. Астрономия: бросок на Луне и на Земле. Ускорение свободного падения на Луне примерно в шесть раз меньше, чем на Земле: \(g \approx 1{,}6\) м/с² (известный факт). Пусть тело брошено вертикально вверх со скоростью 8 м/с. На Луне \(h = 8t - 0{,}8t^2\), и неравенство \(8t - 0{,}8t^2 \geqslant 15\) после переноса 15 в левую часть и умножения обеих частей на \(-1{,}25\) со сменой знака неравенства принимает вид \(t^2 - 10t + 18{,}75 \leqslant 0\). Дискриминант трёхчлена \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 18{,}75 = 25\), его корни — \(2{,}5\) и \(7{,}5\), поэтому на высоте не меньше 15 м тело находится 5 с. На Земле (\(g \approx 10\) м/с²) \(h = 8t - 5t^2\), и неравенство \(8t - 5t^2 \geqslant 15\), то есть \(5t^2 - 8t + 15 \leqslant 0\), решений не имеет: дискриминант \(D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot 15 = -236\) отрицателен, ветви параболы направлены вверх, и трёхчлен положителен при всех \(t\). Наибольшая высота подъёма на Земле достигается в вершине параболы, при \(t = 0{,}8\) с, и равна \(8 \cdot 0{,}8 - 5 \cdot 0{,}8^2 = 3{,}2\) (м). Так неравенства показывают, как один и тот же бросок выглядит на разных небесных телах.
5. Архитектура: проезд под параболической аркой. Арки мостов, ворот и перекрытий часто делают в форме параболы. Пусть пролёт арки равен \(L\), а высота — \(h\). Направим ось \(x\) по линии опор, а ось \(y\) — через верхнюю точку арки. Тогда арка — это парабола \(y = h - \frac{4h}{L^2}x^2\): её вершина — точка \((0; h)\), а при \(x = \pm\frac{L}{2}\) получаем \(y = h - h = 0\). Для арки с пролётом 24 м и высотой 9 м коэффициент равен \(\frac{4 \cdot 9}{24^2} = \frac{36}{576} = \frac{1}{16}\), и \(y = 9 - \frac{x^2}{16}\). Где высота арки не меньше 5 м? Решим неравенство \(9 - \frac{x^2}{16} \geqslant 5\): \(\frac{x^2}{16} \leqslant 4\);
\(x^2 \leqslant 64\);
\((x - 8)(x + 8) \leqslant 0\);
\(-8 \leqslant x \leqslant 8\). Значит, высота арки не меньше 5 м только в полосе шириной 16 м, симметричной относительно середины пролёта, и проезжую часть для машин высотой до 5 м можно разместить лишь в этой полосе.
Резюме: Таким образом, задачи физики, биологии, астрономии и архитектуры, в которых одна величина зависит от другой по квадратичному закону (высота брошенного тела, остановочный путь автомобиля, прирост популяции, высота арки), приводят к квадратным неравенствам. Их решают по одной схеме: составляют модель, решают квадратное неравенство по корням трёхчлена и направлению ветвей параболы и отбирают решения по смыслу задачи. Если дискриминант трёхчлена отрицателен, трёхчлен при всех значениях переменной имеет знак старшего коэффициента, и неравенство выполняется либо всегда, либо никогда: так, на Земле тело, брошенное вверх со скоростью 8 м/с, не поднимется на 15 м. Вершина же параболы даёт наибольшее значение величины — наибольшую высоту подъёма или наибольший прирост популяции.
