Темы исследовательских работ на странице 64, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Свойства квадратичной функции.
2. Наибольшее и наименьшее значения.
3. Знак квадратного трёхчлена: неравенства и область определения.
4. Неравенства с параметром.
5. Симметрия и монотонность: сравнение значений и число корней.

Презентация к докладу: «Применение свойств квадратичной функции при решении задач», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Свойства квадратичной функции. Графиком функции \(f(x) = ax^2 + bx + c\), где \(a \ne 0\), является парабола с вершиной \((x_0; y_0)\), где \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) и \(y_0 = f(x_0)\). Выделение полного квадрата даёт \(f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0\), откуда следуют свойства, на которых основано решение многих задач:
- при \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке \((-\infty; x_0]\), возрастает на промежутке \([x_0; +\infty)\) и принимает наименьшее значение \(y_0\); при \(a < 0\) ветви направлены вниз, функция возрастает на \((-\infty; x_0]\), убывает на \([x_0; +\infty)\) и принимает наибольшее значение \(y_0\);
- прямая \(x = x_0\) — ось симметрии параболы: \(f(x_0 - t) = f(x_0 + t)\) при любом \(t\);
- нули функции — корни трёхчлена: при \(D = b^2 - 4ac > 0\) их два, при \(D = 0\) — один, при \(D < 0\) нулей нет;
- если \(x_1 < x_2\) — нули функции, то на интервале \((x_1; x_2)\) знак \(f(x)\) противоположен знаку \(a\), а при \(x < x_1\) и при \(x > x_2\) совпадает с ним; при \(D = 0\) функция имеет знак \(a\) при всех \(x\), кроме её нуля, а при \(D < 0\) — при всех \(x\).

2. Наибольшее и наименьшее значения. Из полосы жести шириной 30 см сгибают жёлоб прямоугольного сечения, отгибая вверх края шириной \(x\) см. Площадь сечения равна \(S = x(30 - 2x) = -2x^2 + 30x\), где \(0 < x < 15\). Ветви параболы направлены вниз, поэтому наибольшее значение функция принимает в вершине: \(x_0 = -\frac{30}{2 \cdot (-2)} = 7{,}5\) и \(S = 7{,}5 \cdot 15 = 112{,}5\) (см²). Так же находят наибольшую площадь участка при заданной длине ограды и наибольшее произведение двух чисел с заданной суммой. При каких \(x\) площадь сечения не меньше 100 см²? Перенесём 100 в левую часть неравенства \(-2x^2 + 30x \geqslant 100\) и разделим обе части на \(-2\), изменив знак неравенства на противоположный: \(x^2 - 15x + 50 \leqslant 0\). Корни трёхчлена — 5 и 10, поэтому \(5 \leqslant x \leqslant 10\).

3. Знак квадратного трёхчлена: неравенства и область определения. Решая квадратное неравенство, знак трёхчлена читают по эскизу параболы. Так же находят область определения функций с квадратным корнем. Например, функция \(y = \sqrt{12 + x - x^2}\) определена, когда \(-x^2 + x + 12 \geqslant 0\). Корни трёхчлена — \(-3\) и 4, ветви параболы \(y = -x^2 + x + 12\) направлены вниз, и она лежит не ниже оси \(x\) на отрезке между корнями, поэтому область определения функции — \([-3; 4]\). Если бы квадратный корень стоял в знаменателе дроби, подкоренное выражение должно было бы быть положительным, и числа \(-3\) и 4 в область определения не вошли бы. В методе интервалов используют разложение \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\) при \(D > 0\), а трёхчлен с \(D < 0\) при всех \(x\) имеет знак старшего коэффициента.

4. Неравенства с параметром. Неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\), где \(a \ne 0\), выполняется при всех \(x\) тогда и только тогда, когда \(a > 0\) и \(D < 0\): парабола с ветвями вверх целиком лежит выше оси \(x\). Неравенство \(ax^2 + bx + c \geqslant 0\) выполняется при всех \(x\) тогда и только тогда, когда \(a > 0\) и \(D \leqslant 0\); для знаков «<» и «\(\leqslant\)» условия те же, но с \(a < 0\). Утверждение «неравенство \(f(x) \leqslant 0\) не имеет решений» означает то же, что «\(f(x) > 0\) при всех \(x\)». Например, неравенство \(x^2 + mx + 4 > 0\) (ветви вверх) выполняется при всех \(x\) тогда и только тогда, когда \(D = m^2 - 16 < 0\), то есть \((m - 4)(m + 4) < 0\), откуда \(-4 < m < 4\). При \(m = 4\) получаем неравенство \((x + 2)^2 > 0\), неверное при \(x = -2\), а при \(m = -4\) — неравенство \((x - 2)^2 > 0\), неверное при \(x = 2\). Если параметр стоит при \(x^2\), отдельно разбирают случай, когда старший коэффициент равен нулю: при нём неравенство уже не квадратное, и его решают отдельно.

5. Симметрия и монотонность: сравнение значений и число корней. У функции \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) вершина параболы — точка \((2; -3)\), ветви направлены вверх. Сравним \(f(1{,}3)\) и \(f(2{,}9)\), не вычисляя их. Числа \(1{,}1\) и \(2{,}9\) отстоят от 2 на \(0{,}9\) в разные стороны, поэтому по симметрии \(f(2{,}9) = f(1{,}1)\). На промежутке \((-\infty; 2]\) функция убывает, а \(1{,}1 < 1{,}3\), поэтому \(f(1{,}1) > f(1{,}3)\), то есть \(f(2{,}9) > f(1{,}3)\). Число корней уравнения \(x^2 - 4x + 1 = c\) равно числу общих точек параболы и прямой \(y = c\): при \(c > -3\) их две, при \(c = -3\) — одна (вершина), при \(c < -3\) общих точек нет. Это подтверждает и дискриминант уравнения \(x^2 - 4x + 1 - c = 0\): \(D = 16 - 4(1 - c) = 12 + 4c\), и \(D > 0\) при \(c > -3\).

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что свойства квадратичной функции — положение вершины, направление ветвей, нули, промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания, симметрия графика — позволяют решать задачи без громоздких вычислений: вершина даёт наибольшее или наименьшее значение, эскиз параболы — решение квадратного неравенства и область определения функции с корнем, знак старшего коэффициента вместе со знаком дискриминанта — ответ в задачах с параметром, а симметрия и монотонность — сравнение значений функции и число корней уравнения \(f(x) = c\).