Страница 64 номер 254, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(x^2 - 6x + a > 0\) выполняется при всех значениях \(x\)?
График функции \(f(x) = x^2 - 6x + a\) при каждом значении \(a\) — парабола, ветви которой направлены вверх: коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\). Поэтому неравенство \(x^2 - 6x + a > 0\) выполняется при всех \(x\) тогда и только тогда, когда вся парабола лежит выше оси абсцисс, то есть уравнение \(x^2 - 6x + a = 0\) не имеет корней и дискриминант трёхчлена \(x^2 - 6x + a\) отрицателен.
\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 36 - 4a\).
При делении на отрицательное число \(-4\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} 36 - 4a &< 0; \\ -4a &< -36; \qquad | : (-4) \\ a &> 9. \end{aligned}\] Значение \(a = 9\) не подходит: при нём дискриминант равен нулю, \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\), и строгое неравенство \((x - 3)^2 > 0\) при \(x = 3\) не выполняется.
Проверка: \(x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 + a - 9\); наименьшее значение трёхчлена \(a - 9\) достигается при \(x = 3\), поэтому трёхчлен положителен при всех \(x\) тогда и только тогда, когда \(a - 9 > 0\), то есть \(a > 9\).
Ответ: при \(a > 9\).
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(x^2 - 6x + a > 0\) выполняется при всех значениях \(x\)?
Графиком функции \(f(x) = x^2 - 6x + a\) при каждом значении \(a\) является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\). Поэтому неравенство \(x^2 - 6x + a > 0\) выполняется при всех значениях \(x\) тогда и только тогда, когда вся парабола лежит выше оси абсцисс, то есть не имеет с ней общих точек. Это означает, что уравнение \(x^2 - 6x + a = 0\) не имеет корней, то есть дискриминант квадратного трёхчлена \(x^2 - 6x + a\) отрицателен.
Вычислим дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 36 - 4a\). Решим неравенство \(36 - 4a < 0\): перенесём 36 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на отрицательное число \(-4\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 36 - 4a &< 0; \\ -4a &< -36; \qquad | : (-4) \\ a &> 9. \end{aligned}\] Значение \(a = 9\) не подходит: при нём дискриминант равен нулю, \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\), и при \(x = 3\) левая часть неравенства равна нулю, так что строгое неравенство \((x - 3)^2 > 0\) при \(x = 3\) не выполняется.
Проверка: выделим полный квадрат: \(x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 + a - 9\). Наименьшее значение трёхчлена равно \(a - 9\), оно достигается при \(x = 3\). Поэтому трёхчлен положителен при всех \(x\) тогда и только тогда, когда \(a - 9 > 0\), то есть \(a > 9\).
Ответ: при \(a > 9\).
