Темы исследовательских работ на странице 44, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
План доклада:
1. Модуль числа и график функции \(y = |x|\).
2. График функции \(y = |f(x)|\).
3. График функции \(y = f(|x|)\).
4. Несколько модулей в одной формуле.
5. Число общих точек графика и прямой \(y = a\).
Презентация к докладу: «Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Модуль числа и график функции \(y = |x|\). По определению модуля \[|x| = \begin{cases} x & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x & \text{при } x < 0. \end{cases}\] Поэтому при \(x \geqslant 0\) график функции \(y = |x|\) совпадает с прямой \(y = x\), а при \(x < 0\) — с прямой \(y = -x\): это два луча с общим началом \(O\). Множество значений функции — \([0; +\infty)\), функция чётная, так как \(|-x| = |x|\).
2. График функции \(y = |f(x)|\). Там, где \(f(x) \geqslant 0\), график не меняется, а там, где \(f(x) < 0\), точка \((x; f(x))\) заменяется симметричной ей относительно оси \(x\) точкой \((x; -f(x))\): часть графика, лежащую ниже оси \(x\), отражают симметрично относительно оси абсцисс. У параболы \(y = x^2 - 2x - 3\) нули \(-1\) и 3, а вершина — точка \((1; -4)\); у функции \(y = |x^2 - 2x - 3|\) часть параболы между нулями отражается вверх, вершина переходит в точку \((1; 4)\), и получается «горка».
3. График функции \(y = f(|x|)\). Функция \(y = f(|x|)\) чётная: \(f(|-x|) = f(|x|)\), так как \(|-x| = |x|\), а область определения симметрична относительно нуля. Поэтому её график симметричен относительно оси \(y\), а при \(x \geqslant 0\) совпадает с графиком функции \(y = f(x)\). Правило: построить график функции \(y = f(x)\) при \(x \geqslant 0\), левую часть отбросить, а правую оставить и отразить симметрично относительно оси \(y\). Например, при \(x \geqslant 0\) график функции \(y = x^2 - 4|x| + 3\) — парабола \(y = x^2 - 4x + 3\) с вершиной \((2; -1)\), а после отражения получаем кривую с двумя вершинами \((-2; -1)\) и \((2; -1)\) и нулями \(-3\), \(-1\), 1, 3.
4. Несколько модулей в одной формуле. График функции \(y = |f(|x|)|\) строят в два шага: сначала график функции \(y = f(|x|)\), затем части ниже оси \(x\) отражают вверх. Если модули стоят в разных слагаемых, например \(y = |x - 1| + |x + 2|\), их раскрывают на промежутках между нулями подмодульных выражений, \(-2\) и 1: \[y = \begin{cases} -2x - 1 & \text{при } x < -2, \\ 3 & \text{при } -2 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2x + 1 & \text{при } x > 1. \end{cases}\] График состоит из отрезка прямой \(y = 3\) и двух лучей; наименьшее значение 3 функция принимает при всех \(x\) из отрезка \([-2; 1]\).
5. Число общих точек графика и прямой \(y = a\). Число решений уравнения \(f(x) = a\) равно числу общих точек графика функции \(y = f(x)\) и прямой \(y = a\). Для функции \(y = |x^2 - 2x - 3|\) их нет при \(a < 0\), две при \(a = 0\), четыре при \(0 < a < 4\), три при \(a = 4\) и две при \(a > 4\); для функции \(y = |x - 1| + |x + 2|\) их нет при \(a < 3\), бесконечно много при \(a = 3\) и две при \(a > 3\).
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что графики функций с модулем строят, раскрывая модуль по определению на промежутках, где выражение под ним сохраняет знак. Для графика функции \(y = |f(x)|\) часть графика \(y = f(x)\), лежащую ниже оси \(x\), отражают относительно этой оси; для графика функции \(y = f(|x|)\) сохраняют его часть при \(x \geqslant 0\) и отражают её относительно оси \(y\), так как функция чётная; сумму модулей раскрывают на промежутках между нулями подмодульных выражений. По графику функции с модулем находят её множество значений, наибольшее и наименьшее значения и число решений уравнения \(f(x) = a\) при разных \(a\).
Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
План доклада:
1. Модуль числа и график функции \(y = |x|\).
2. График функции \(y = |f(x)|\).
3. График функции \(y = f(|x|)\).
4. Несколько модулей в одной формуле.
5. Число общих точек графика и прямой \(y = a\).
Презентация к докладу: «Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Модуль числа и график функции \(y = |x|\). Модуль числа равен самому числу, если число неотрицательно, и противоположному числу, если оно отрицательно: \[|x| = \begin{cases} x & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x & \text{при } x < 0. \end{cases}\] Поэтому при \(x \geqslant 0\) график функции \(y = |x|\) совпадает с прямой \(y = x\), а при \(x < 0\) — с прямой \(y = -x\). Точки \((x; x)\) и \((x; -x)\) симметричны относительно оси абсцисс, так что левая часть графика — это отражённая относительно оси \(x\) часть прямой \(y = x\), лежащая в нижней полуплоскости. График состоит из двух лучей с общим началом \(O\); множество значений функции — \([0; +\infty)\), функция чётная, так как \(|-x| = |x|\). Главная идея всех построений — раскрыть модуль по определению на тех промежутках, где выражение под модулем сохраняет знак.
2. График функции \(y = |f(x)|\). Там, где \(f(x) \geqslant 0\), имеем \(|f(x)| = f(x)\), и график не меняется. Там, где \(f(x) < 0\), имеем \(|f(x)| = -f(x)\), и точка \((x; f(x))\) заменяется симметричной ей относительно оси \(x\) точкой \((x; -f(x))\). Правило: построить график функции \(y = f(x)\) и часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, отразить симметрично относительно оси абсцисс. Весь график функции \(y = |f(x)|\) лежит не ниже оси \(x\). Например, у параболы \(y = x^2 - 2x - 3\) нули \(-1\) и 3, а вершина — точка \((1; -4)\). Для функции \(y = |x^2 - 2x - 3|\) часть параболы между нулями отражается вверх, вершина переходит в точку \((1; 4)\), и между двумя ветвями появляется «горка». Так же строится график функции \(y = |2x - 4|\): у прямой \(y = 2x - 4\) отражается часть при \(x < 2\), и получаются два луча с общим началом \((2; 0)\).
3. График функции \(y = f(|x|)\). Так как \(|-x| = |x|\), то \(f(|-x|) = f(|x|)\) при любом \(x\) из области определения, а сама область определения симметрична относительно нуля. Значит, функция \(y = f(|x|)\) чётная, и её график симметричен относительно оси \(y\). При \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\), поэтому там её график совпадает с графиком функции \(y = f(x)\). Правило: построить график функции \(y = f(x)\) при \(x \geqslant 0\), левую часть отбросить, а правую оставить и отразить симметрично относительно оси \(y\). Например, \(x^2 - 4|x| + 3 = |x|^2 - 4|x| + 3\), так как \(x^2 = |x|^2\). При \(x \geqslant 0\) это парабола \(y = x^2 - 4x + 3\) с вершиной \((2; -1)\), нулями 1 и 3 и точкой \((0; 3)\). После отражения получаем кривую, симметричную относительно оси \(y\), с двумя вершинами \((-2; -1)\) и \((2; -1)\) и нулями \(-3\), \(-1\), 1, 3.
4. Несколько модулей в одной формуле. Приёмы можно применять друг за другом. График функции \(y = |f(|x|)|\) строят в два шага: сначала график функции \(y = f(|x|)\), затем части, лежащие ниже оси \(x\), отражают вверх. Для функции \(y = |x^2 - 4|x| + 3|\) отражаются части между \(-3\) и \(-1\) и между 1 и 3, а точки \((-2; -1)\) и \((2; -1)\) переходят в точки \((-2; 1)\) и \((2; 1)\).
Если модули стоят в разных слагаемых, например \(y = |x - 1| + |x + 2|\), их раскрывают на промежутках, на которые числовую прямую делят нули подмодульных выражений, \(-2\) и 1: \[y = \begin{cases} -2x - 1 & \text{при } x < -2, \\ 3 & \text{при } -2 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2x + 1 & \text{при } x > 1. \end{cases}\] График состоит из отрезка прямой \(y = 3\) и двух лучей. Наименьшее значение функции равно 3, и принимает она его при всех \(x\) из отрезка \([-2; 1]\); множество значений функции — \([3; +\infty)\).
5. Число общих точек графика и прямой \(y = a\). Число решений уравнения \(f(x) = a\) равно числу общих точек графика функции \(y = f(x)\) и горизонтальной прямой \(y = a\), поэтому по графику функции с модулем удобно отвечать на вопрос, сколько решений имеет уравнение при разных значениях \(a\). Для функции \(y = |x^2 - 2x - 3|\): при \(a < 0\) общих точек нет; при \(a = 0\) их две — точки \((-1; 0)\) и \((3; 0)\); при \(0 < a < 4\) — четыре; при \(a = 4\) — три, так как прямая проходит через верхнюю точку «горки»; при \(a > 4\) — две. Для функции \(y = |x - 1| + |x + 2|\): при \(a < 3\) общих точек нет, при \(a = 3\) их бесконечно много (весь отрезок), при \(a > 3\) — две.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что графики функций с модулем строят, раскрывая модуль по определению на промежутках, где выражение под ним сохраняет знак. Для графика функции \(y = |f(x)|\) часть графика \(y = f(x)\), лежащую ниже оси \(x\), отражают относительно этой оси; для графика функции \(y = f(|x|)\) сохраняют его часть при \(x \geqslant 0\) и отражают её относительно оси \(y\), так как функция чётная; сумму модулей раскрывают на промежутках между нулями подмодульных выражений. По графику функции с модулем находят её множество значений, наибольшее и наименьшее значения и число решений уравнения \(f(x) = a\) при разных \(a\).
