Темы исследовательских работ на странице 44, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Вершина, ось и ветви параболы.
2. Параболы с одинаковым коэффициентом при \(x^2\).
3. Ключевые точки и знаки коэффициентов.
4. Фокус и директриса.
5. Парабола в природе и технике.

Презентация к докладу: «Парабола», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Вершина, ось и ветви параболы. График квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a \ne 0\), — парабола. Выделив полный квадрат, получим \(y = a(x - x_0)^2 + y_0\), где \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), а \(y_0\) — значение функции при \(x = x_0\); точка \((x_0; y_0)\) — вершина параболы. В точках \(x_0 + t\) и \(x_0 - t\) функция принимает одно и то же значение \(at^2 + y_0\), поэтому прямая \(x = x_0\) — ось симметрии параболы. Ветви направлены вверх при \(a > 0\) и вниз при \(a < 0\). Число \(|a|\) отвечает за «ширину» параболы: парабола \(y = ax^2\) получается из параболы \(y = x^2\) (при \(a < 0\) — из параболы \(y = -x^2\)) растяжением вдоль оси ординат, если \(|a| > 1\), и сжатием, если \(|a| < 1\). Хорда, перпендикулярная оси и удалённая от вершины на 1 в сторону ветвей, имеет длину \(\frac{2}{\sqrt{|a|}}\): у параболы \(y = x^2\) она равна 2, у параболы \(y = 4x^2\) — 1.

2. Параболы с одинаковым коэффициентом при \(x^2\). Из равенства \(y = a(x - x_0)^2 + y_0\) следует, что параболу \(y = ax^2 + bx + c\) можно получить из параболы \(y = ax^2\) сдвигом на \(|x_0|\) единиц вдоль оси \(x\) (вправо при \(x_0 > 0\), влево при \(x_0 < 0\)) и на \(|y_0|\) единиц вдоль оси \(y\) (вверх при \(y_0 > 0\), вниз при \(y_0 < 0\)). При сдвиге фигура не меняет ни формы, ни размеров, поэтому все параболы с одним и тем же коэффициентом \(a\) равны между собой. Например, \(2x^2 - 12x + 13 = 2(x - 3)^2 - 5\), и парабола \(y = 2x^2 - 12x + 13\) — это парабола \(y = 2x^2\), сдвинутая на 3 единицы вправо и на 5 единиц вниз. Параболы \(y = ax^2\) и \(y = -ax^2\) симметричны относительно оси \(x\) и тоже равны. Параболы с разными значениями \(|a|\) не равны: у них разная длина хорды, удалённой от вершины на 1. Известен и более общий факт: все параболы подобны друг другу, как все окружности.

3. Ключевые точки и знаки коэффициентов. К ключевым точкам параболы относят вершину и точки пересечения с осями координат. Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; c)\). Абсциссы точек пересечения с осью \(x\) — корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): при \(D > 0\) таких точек две, при \(D = 0\) парабола касается оси \(x\) в вершине, при \(D < 0\) не пересекает её. Точка \((2x_0; c)\) симметрична точке \((0; c)\) относительно оси параболы. Для проверки удобно, что абсцисса вершины — середина отрезка между нулями.

По графику можно определить знаки коэффициентов: знак \(a\) — по направлению ветвей, знак \(c\) — по точке пересечения с осью \(y\), знак \(b\) — по положению вершины. Так как \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), при \(a > 0\) числа \(b\) и \(x_0\) имеют противоположные знаки, а при \(a < 0\) — одинаковые. Например, если ветви направлены вниз, вершина лежит правее оси \(y\), а ось \(y\) пересечена ниже начала координат, то \(a < 0\), \(b > 0\), \(c < 0\).

4. Фокус и директриса. У параболы есть точка (фокус) и прямая (директриса), от которых каждая точка параболы находится на одинаковом расстоянии. У параболы \(y = x^2\) фокус — точка \(F\left(0; \frac{1}{4}\right)\), директриса — прямая \(y = -\frac{1}{4}\). Проверим это. Пусть \(M(x; x^2)\) — точка параболы. По теореме Пифагора \[MF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac{1}{4}\right)^2 = x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{16} = \left(x^2 + \frac{1}{4}\right)^2.\] Расстояние от точки \(M\) до директрисы равно \(x^2 + \frac{1}{4}\), поэтому оба расстояния равны. Верно и обратное: если точка \((x; y)\) равноудалена от \(F\) и от директрисы, то, приравняв квадраты расстояний, получим \(x^2 + \left(y - \frac{1}{4}\right)^2 = \left(y + \frac{1}{4}\right)^2\), откуда \(x^2 = y\). У параболы \(y = ax^2\) при \(a > 0\) фокус — точка \(\left(0; \frac{1}{4a}\right)\), директриса — прямая \(y = -\frac{1}{4a}\). Параболическое зеркало (поверхность, полученная вращением параболы вокруг её оси) собирает в фокусе лучи, идущие параллельно оси, а лучи от источника в фокусе отражает параллельным пучком — это известное оптическое свойство параболы; слово «фокус» по-латыни означает «очаг».

5. Парабола в природе и технике. Тело, брошенное под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления воздуха движется по параболе — это установил Галилей. Высота тела, брошенного вертикально вверх со скоростью \(v_0\), меняется со временем по известному из физики закону \(h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}\) (сопротивление воздуха не учитываем) — это квадратичная функция от \(t\). При \(v_0 = 20\) м/с и \(g \approx 10\) м/с² получаем \(h = 20t - 5t^2\); наибольшая высота достигается в вершине параболы, при \(t_0 = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2\) (с), и равна \(20 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 20\) (м). По параболам летят струи фонтанов, а параболические зеркала применяют в прожекторах, автомобильных фарах, спутниковых антеннах и солнечных печах. Парабола — одно из конических сечений: она получается при пересечении поверхности конуса плоскостью, которая параллельна одной из его образующих и не проходит через вершину конуса (известный факт). Название «парабола» ввёл древнегреческий математик Аполлоний Пергский.

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что парабола — график квадратичной функции — симметрична относительно прямой, которая проходит через вершину параллельно оси \(y\); знак коэффициента \(a\) задаёт направление её ветвей, а число \(|a|\) — её «ширину», причём все параболы с одинаковым \(a\) равны, так как получаются друг из друга сдвигами. Параболу удобно строить по ключевым точкам, а по её виду можно определить знаки коэффициентов. Каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, и это свойство объясняет работу параболических зеркал; по параболе движется тело, брошенное под углом к горизонту, а сама парабола — одно из конических сечений.