Темы исследовательских работ на странице 44, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Парабола: вершина, ось симметрии, ветви.
2. Параболическая арка.
3. Трос висячего моста.
4. Наибольшая площадь при заданной длине ограждения.
5. Параболические своды, покрытия и фонтаны.

Презентация к докладу: «Квадратичная функция в строительстве и архитектуре», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Парабола: вершина, ось симметрии, ветви. Графиком квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a \ne 0\), является парабола. Её вершина — точка \((x_0; y_0)\), где \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), а \(y_0\) — значение функции при \(x = x_0\). Прямая \(x = x_0\) — ось симметрии параболы. При \(a < 0\) ветви направлены вниз и вершина — самая высокая точка параболы, при \(a > 0\) ветви направлены вверх и вершина — самая низкая точка. Чем больше \(|a|\), тем круче идут ветви. Для строителя важны именно эти свойства: симметрия (обе половины конструкции одинаковы), наивысшая или наинизшая точка в вершине и то, что форму параболы можно рассчитать по нескольким размерам.

2. Параболическая арка. Пусть арка имеет пролёт \(L\) (расстояние между опорами) и высоту \(h\). Направим ось \(x\) по линии опор, а ось \(y\) — через верхнюю точку арки. Тогда опоры — точки \(\left(-\frac{L}{2}; 0\right)\) и \(\left(\frac{L}{2}; 0\right)\), а вершина — точка \((0; h)\). Ось симметрии арки — ось \(y\), поэтому \(x_0 = -\frac{b}{2a} = 0\), то есть \(b = 0\), и \(y = ax^2 + h\). Подставив координаты опоры, получим \(0 = a \cdot \frac{L^2}{4} + h\), откуда \(a = -\frac{4h}{L^2}\) и \[y = -\frac{4h}{L^2}x^2 + h.\] Например, для арки пролётом 20 м и высотой 8 м получаем \(a = -\frac{4 \cdot 8}{20^2} = -0{,}08\), то есть \(y = -0{,}08x^2 + 8\). На расстоянии 5 м от середины высота арки равна \(-0{,}08 \cdot 5^2 + 8 = 6\) (м). Значит, под аркой проходит полоса шириной 10 м и высотой 6 м: так проверяют, пройдёт ли под аркой или мостом транспорт заданных размеров.

3. Трос висячего моста. В висячем мосту полотно подвешено на вертикальных подвесках к несущим тросам, натянутым между пилонами. Если вес полотна много больше веса самих тросов и распределён равномерно по длине моста, трос принимает форму параболы — это известный факт механики. Поместим начало координат в нижнюю точку троса. При пролёте \(L\) и стреле провеса \(f\) (на столько точки крепления выше нижней точки троса) трос — это парабола \(y = \frac{4f}{L^2}x^2\): при \(x = \frac{L}{2}\) и при \(x = -\frac{L}{2}\) получаем \(y = f\). Например, при пролёте 200 м и провесе 20 м получаем \(y = \frac{4 \cdot 20}{200^2}x^2 = 0{,}002x^2\). При горизонтальном полотне подвеска, закреплённая в 50 м от середины моста, длиннее средней на \(0{,}002 \cdot 50^2 = 5\) (м); так рассчитывают длины всех подвесок.

Свободно висящая цепь или провод, провисающие только под собственным весом, имеют другую форму — цепную линию (это тоже известный факт механики). При небольшом провисании она похожа на параболу, но это разные кривые: парабола получается именно тогда, когда основная нагрузка распределена равномерно по горизонтали.

4. Наибольшая площадь при заданной длине ограждения. Пусть прямоугольную площадку, примыкающую к стене здания, нужно огородить с трёх сторон забором длиной 60 м. Если стороны, перпендикулярные стене, равны \(x\) м, то третья сторона равна \(60 - 2x\) м, а площадь площадки \(S = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x\), где \(0 < x < 30\). Коэффициент при \(x^2\) отрицательный, поэтому наибольшее значение функция принимает в вершине параболы: \(x_0 = -\frac{60}{2 \cdot (-2)} = 15\) и \(S = 15 \cdot 30 = 450\) (м²). Выделение полного квадрата это подтверждает: \(-2x^2 + 60x = -2(x - 15)^2 + 450\), поэтому \(S \leqslant 450\), причём \(S = 450\) только при \(x = 15\). Значит, выгоднее всего площадка размером 15 м на 30 м. Так же подбирают размеры окон, помещений и участков, когда количество материала ограничено.

5. Параболические своды, покрытия и фонтаны. Арка, которая несёт нагрузку, равномерно распределённую по пролёту, при параболической форме работает только на сжатие, без изгиба (известный факт строительной механики): это как бы перевёрнутый трос висячего моста. Поэтому параболическую форму придают аркам мостов, сводам ангаров, павильонов и других зданий с большим пролётом. Для покрытий используют и гиперболический параболоид — поверхность в форме «седла», в сечениях которой вертикальными плоскостями двух основных направлений получаются параболы: с ветвями вверх и с ветвями вниз (известный факт). Струя фонтана, если не учитывать сопротивление воздуха, летит по параболе (известный факт), поэтому по формуле параболы рассчитывают, куда упадёт струя, и подбирают размеры чаши.

Резюме: Таким образом, квадратичная функция описывает в строительстве и архитектуре формы, у которых есть вершина и ось симметрии: параболические арки и своды, тросы висячих мостов, струи фонтанов. Формула арки \(y = -\frac{4h}{L^2}x^2 + h\) позволяет по пролёту и высоте найти высоту арки в любой точке, формула троса \(y = \frac{4f}{L^2}x^2\) — длины подвесок, а вершина параболы даёт наибольшее значение величины, например наибольшую площадь площадки при заданной длине ограждения. При этом не всякая похожая кривая — парабола: свободно висящая цепь провисает по цепной линии.