Темы исследовательских работ на странице 164, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Натуральные числа и дроби.
2. Нуль и отрицательные числа.
3. Рациональные числа и десятичные дроби.
4. Действительные числа и числовая прямая.
5. Действия над действительными числами.

Презентация к докладу: «Развитие понятия числа. Понятие о действительных числах и действиях над ними», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Натуральные числа и дроби. Первыми появились натуральные числа — числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3, … Их множество обозначают \(\mathbb{N}\). Сумма и произведение натуральных чисел — снова натуральные числа, но вычесть из меньшего числа большее или разделить 3 на 2, оставаясь среди натуральных чисел, нельзя. Потребность измерять длины, массы и время привела к дробям: при измерении единицу делят на равные части. Древние египтяне пользовались в основном дробями с числителем 1: в папирусе Ахмеса, например, \(\frac{2}{5}\) записано как \(\frac{1}{3} + \frac{1}{15}\). Вавилоняне записывали дроби в шестидесятеричной системе — от неё остались 60 минут в часе и 60 секунд в минуте.

2. Нуль и отрицательные числа. Отрицательные числа встречаются в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах»: при решении систем линейных уравнений положительные числа изображали красными счётными палочками, а отрицательные — чёрными. Индийский математик Брахмагупта сформулировал правила действий с нулём и отрицательными числами, толкуя положительные числа как имущество, а отрицательные — как долг: например, «долг, вычтенный из нуля, становится имуществом», то есть \(0 - (-3) = 3\). Натуральные числа, противоположные им числа и нуль образуют множество целых чисел \(\mathbb{Z}\). В нём вычитание выполнимо всегда, а сложение и умножение подчиняются тем же законам, что и для натуральных чисел.

3. Рациональные числа и десятичные дроби. Числа вида \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое, а \(n\) — натуральное, называют рациональными; их множество обозначают \(\mathbb{Q}\). Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел (кроме деления на нуль) — снова рациональные числа. Вычисления с дробями упростились, когда появились десятичные дроби: в Европе их распространил нидерландский учёный С. Стевин книгой «Десятая» (1585). Любое рациональное число записывается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью: \(\frac{1}{4} = 0{,}25\), \(\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)\), \(\frac{5}{11} = 0{,}4545\ldots = 0{,}(45)\). Верно и обратное: любая периодическая десятичная дробь — запись рационального числа.

4. Действительные числа и числовая прямая. Рациональных чисел недостаточно, чтобы выразить длину любого отрезка: ещё в Древней Греции было доказано, что диагональ квадрата со стороной 1, равная \(\sqrt{2}\), не выражается рациональным числом. Числа, которые записываются бесконечными непериодическими десятичными дробями, называют иррациональными: \(\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots\), \(\sqrt[3]{2} = 1{,}25992\ldots\), \(\pi = 3{,}14159\ldots\), \(0{,}1010010001\ldots\) (после каждой следующей единицы нулей на один больше). Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел \(\mathbb{R}\); натуральные числа — часть целых, целые — часть рациональных, рациональные — часть действительных. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, и каждой точке — действительное число. Строгую теорию действительных чисел построил в 1872 году немецкий математик Р. Дедекинд. Он определил действительное число как сечение — разбиение всех рациональных чисел на два класса, при котором каждое число первого класса меньше каждого числа второго. Например, число \(\sqrt{2}\) задаётся сечением, в первом классе которого отрицательные рациональные числа и неотрицательные с квадратом меньше 2, а во втором — положительные рациональные числа с квадратом больше 2.

5. Действия над действительными числами. Как сложить два иррациональных числа, если их десятичные записи бесконечны? Сумму находят с помощью приближений с недостатком и с избытком. Например, \(1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42\) и \(1{,}73 < \sqrt{3} < 1{,}74\), поэтому \(3{,}14 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3{,}16\). Взяв приближения точнее, \(1{,}414 < \sqrt{2} < 1{,}415\) и \(1{,}732 < \sqrt{3} < 1{,}733\), получим \(3{,}146 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3{,}148\). Сумма \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) — единственное число, которое лежит между суммами всех таких приближений. Так же находят произведение: \(1{,}41 \cdot 1{,}73 < \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < 1{,}42 \cdot 1{,}74\), то есть \(2{,}4393 < \sqrt{6} < 2{,}4708\). Для действительных чисел сохраняются переместительный, сочетательный и распределительный законы и свойства неравенств. Корень нечётной степени можно извлечь из любого действительного числа, а корень чётной степени — из любого неотрицательного. Сумма и произведение иррациональных чисел могут оказаться рациональными: \((1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2\), \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4\).

Резюме: Таким образом, понятие числа расширялось вместе с потребностями практики и самой математики: счёт привёл к натуральным числам, измерение — к дробям, вычитание и учёт долгов — к отрицательным числам и нулю, несоизмеримые отрезки — к иррациональным числам. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел \(\mathbb{R}\), и каждой точке числовой прямой соответствует действительное число. Действия над действительными числами определяют через их десятичные приближения, и при этом сохраняются все привычные законы арифметики; строгое обоснование теории действительных чисел дал в 1872 году Р. Дедекинд.