Страница 164 номер 739, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каждом значении \(a\) определите количество корней уравнения \(2x^6 + 5 = a\).
\[\begin{aligned} 2x^6 + 5 &= a; \qquad | -5 \\ 2x^6 &= a - 5; \qquad | : 2 \\ x^6 &= \frac{a - 5}{2}. \end{aligned}\] Показатель степени 6 — чётное число, поэтому число корней зависит от знака разности \(a - 5\).
Если \(a < 5\), то \(\frac{a - 5}{2} < 0\), а шестая степень любого числа неотрицательна, поэтому уравнение корней не имеет.
Если \(a = 5\), то \(x^6 = 0\); шестая степень числа равна нулю только тогда, когда само число равно нулю, поэтому уравнение имеет один корень: \(0\).
Если \(a > 5\), то \(\frac{a - 5}{2} > 0\), а показатель чётный, поэтому уравнение имеет два корня: \(-\sqrt[6]{\frac{a - 5}{2}}\) и \(\sqrt[6]{\frac{a - 5}{2}}\).
Ответ: при \(a < 5\) корней нет; при \(a = 5\) — один корень; при \(a > 5\) — два корня.
При каждом значении \(a\) определите количество корней уравнения \(2x^6 + 5 = a\).
Вычтем из обеих частей уравнения 5, а затем разделим обе части на 2: \[\begin{aligned} 2x^6 + 5 &= a; \qquad | -5 \\ 2x^6 &= a - 5; \qquad | : 2 \\ x^6 &= \frac{a - 5}{2}. \end{aligned}\] Корни этого уравнения — все числа, шестая степень которых равна \(\frac{a - 5}{2}\). Показатель степени 6 — чётное число, поэтому количество таких чисел зависит от знака числа \(\frac{a - 5}{2}\), то есть от знака разности \(a - 5\).
Если \(a < 5\), то \(\frac{a - 5}{2} < 0\). Множество значений функции \(y = x^6\) — промежуток \([0; +\infty)\), то есть шестая степень любого числа неотрицательна. Поэтому уравнение корней не имеет.
Если \(a = 5\), то уравнение принимает вид \(x^6 = 0\). Шестая степень числа равна нулю только тогда, когда само число равно нулю, поэтому уравнение имеет один корень: \(0\).
Если \(a > 5\), то \(\frac{a - 5}{2} > 0\). При чётном показателе для положительного числа существуют ровно два противоположных числа, шестая степень которых равна этому числу, поэтому уравнение имеет два корня: \(-\sqrt[6]{\frac{a - 5}{2}}\) и \(\sqrt[6]{\frac{a - 5}{2}}\).
Ответ: при \(a < 5\) корней нет; при \(a = 5\) — один корень; при \(a > 5\) — два корня.
