Темы исследовательских работ на странице 164, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Квадрат и куб числа.
2. Как записывали степени.
3. Нулевой и отрицательный показатели.
4. Дробный показатель.
5. Почему степени определены именно так.

Презентация к докладу: «История развития понятия степени», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Квадрат и куб числа. Вторая и третья степени числа пришли из геометрии: площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2\), объём куба с ребром \(a\) равен \(a^3\). Поэтому мы и говорим «\(a\) в квадрате», «\(a\) в кубе». Таблицы квадратов и кубов чисел встречаются уже на глиняных табличках Древнего Вавилона. Архимед в сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок») оценил, сколько песчинок поместилось бы во Вселенной, как её тогда представляли, и получил число, меньшее \(10^{63}\). Для таких огромных чисел он придумал систему наименований, основанную на мириаде мириад — числе \(10^8\), и заметил правило, которое сегодня записывают как \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): при перемножении степеней одного и того же числа показатели складываются.

2. Как записывали степени. Долгое время степени записывали словами. Диофант Александрийский (III в.) в «Арифметике» ввёл особые знаки для неизвестного и его степеней вплоть до шестой; квадрат он называл «динамис» — «сила», куб — «кубос». Средневековые математики тоже писали степени словами или их сокращениями. Термин «показатель» (по-латыни exponens) ввёл немецкий математик М. Штифель в 1544 году. Привычную нам запись, при которой показатель пишут справа сверху, ввёл Р. Декарт в «Геометрии» (1637): \(a^3\), \(a^4\), \(a^5\); вторую степень он ещё часто записывал как \(aa\).

3. Нулевой и отрицательный показатели. Французский математик Н. Шюке в 1484 году в книге «Наука о числах в трёх частях» использовал нулевой и отрицательные показатели. М. Штифель в «Полной арифметике» (1544) выписал друг под другом ряд показателей \(-3\); \(-2\); \(-1\); \(0\); \(1\); \(2\); \(3\) и ряд степеней двойки \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{2}\); \(1\); \(2\); \(4\); \(8\). Он заметил, что умножению чисел нижнего ряда соответствует сложение чисел верхнего: \(\frac{1}{4} \cdot 8 = 2\) и \(-2 + 3 = 1\). При движении по нижнему ряду влево каждое число вдвое меньше предыдущего, поэтому естественно считать, что \(2^0 = 1\), \(2^{-1} = \frac{1}{2}\), \(2^{-2} = \frac{1}{4}\), \(2^{-3} = \frac{1}{8}\).

4. Дробный показатель. Степени с дробными показателями рассматривал уже французский учёный XIV века Н. Орем. Систематически отрицательные и дробные показатели стал применять английский математик Дж. Валлис в книге «Арифметика бесконечных» (1656). Общую запись закрепил И. Ньютон: в письме 1676 года он объяснял, что вместо \(\sqrt{a}\), \(\sqrt{a^3}\), \(\sqrt[3]{a^5}\) пишет \(a^{\frac{1}{2}}\), \(a^{\frac{3}{2}}\), \(a^{\frac{5}{3}}\), а вместо \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{aa}\), \(\frac{1}{a^3}\) — \(a^{-1}\), \(a^{-2}\), \(a^{-3}\). С тех пор степень с любым рациональным показателем записывают так же, как степень с натуральным: \(a^{\frac{m}{n}}\).

5. Почему степени определены именно так. Каждое новое определение выбирали так, чтобы сохранилось главное свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Если оно верно при \(m = 0\), то \(a^0 \cdot a^n = a^n\), поэтому при \(a \neq 0\) нужно положить \(a^0 = 1\). Из равенства \(a^{-n} \cdot a^n = a^0 = 1\) следует, что \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\); основание здесь не может быть нулём, ведь на нуль делить нельзя. Если должно выполняться \(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a\), то \(a^{\frac{1}{n}}\) — число, \(n\)-я степень которого равна \(a\); при \(a > 0\) берут положительное такое число, то есть \(\sqrt[n]{a}\), и тогда \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Отрицательные основания для дробных показателей исключили, иначе пришлось бы считать, что \((-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2\), но \((-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = 2\), хотя \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\). Степени с целыми показателями используют в стандартном виде числа \(a \cdot 10^n\), где \(1 \leqslant a < 10\), а \(n\) — целое: расстояние от Земли до Солнца — около \(1{,}5 \cdot 10^8\) км, размер атома — порядка \(10^{-10}\) м.

Резюме: Таким образом, понятие степени развивалось от квадрата и куба числа — площади квадрата и объёма куба — к степеням с любыми натуральными, затем с нулевым, отрицательными и дробными показателями. Каждый раз новое определение выбирали так, чтобы сохранились свойства степеней, прежде всего \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): отсюда \(a^0 = 1\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) и \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\), а дробные степени отрицательных чисел не определяют, чтобы не получать противоречий. Привычная запись \(a^n\) восходит к Р. Декарту, отрицательные и дробные показатели вошли в математику благодаря Н. Шюке, М. Штифелю, Дж. Валлису и И. Ньютону.