Темы исследовательских работ на странице 143, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Загадки арифметической прогрессии.
План доклада:
1. Арифметическая прогрессия и формула её \(n\)-го члена.
2. Характеристическое свойство и задачи на него.
3. Сумма первых \(n\) членов: способ Гаусса.
4. Сумма первых \(n\) нечётных чисел.
5. Задача о хлебах из папируса Ахмеса.
Презентация к докладу: «Загадки арифметической прогрессии», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Арифметическая прогрессия и формула её \(n\)-го члена. Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой \(a_{n+1} = a_n + d\) при любом натуральном \(n\), где \(d\) — одно и то же число, разность. Формулу \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) доказывают индукцией. При \(a_1 = 5\) и \(d = 4\) получаем \(a_{100} = 5 + 99 \cdot 4 = 401\), а число 2026 её членом не является: из \(5 + 4(n - 1) = 2026\) следует \(4(n - 1) = 2021\), но 2021 не делится на 4, и натурального \(n\) нет.
2. Характеристическое свойство и задачи на него. Каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних: \(a_{n+1} = \frac{a_n + a_{n+2}}{2}\); верно и обратное. Если \(k + l = m + p\), то \(a_k + a_l = a_m + a_p\), поэтому \(a_1 + a_9 = 2a_5\) и сумма первых девяти членов равна \(9a_5\). Если стороны прямоугольного треугольника — \(a - d\), \(a\), \(a + d\), где \(d > 0\), то \((a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2\), откуда \(a = 4d\), так как \(a > 0\): стороны — \(3d\), \(4d\), \(5d\), и треугольник подобен «египетскому».
3. Сумма первых \(n\) членов: способ Гаусса. Гаусс сложил числа от 1 до 100 парами: \(1 + 100 = 2 + 99 = \ldots = 50 + 51 = 101\), пар 50, сумма \(101 \cdot 50 = 5050\). Записав сумму \(S_n\) в обратном порядке и сложив почленно, получим \(2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n\) и \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). Трёхзначных чисел, кратных 7, \(\frac{994 - 105}{7} + 1 = 128\), их сумма \(\frac{105 + 994}{2} \cdot 128 = 70\,336\).
4. Сумма первых \(n\) нечётных чисел. Нечётные числа образуют прогрессию с \(n\)-м членом \(2n - 1\), поэтому \(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = n^2\). Квадрат со стороной \(n\) клеток и «уголок» из \(2n + 1\) клетки дают квадрат со стороной \(n + 1\), так как \(n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2\); это же равенство — шаг индукции.
5. Задача о хлебах из папируса Ахмеса. В древнеегипетском папирусе Ахмеса 100 хлебов делят между пятью людьми так, чтобы доли составили арифметическую прогрессию и седьмая часть суммы трёх больших долей равнялась сумме двух меньших. При долях \(x\), \(x + d\), …, \(x + 4d\) получаем \(5x + 10d = 100\), то есть \(x + 2d = 20\), и \(3x + 9d = 14x + 7d\), откуда \(d = 5{,}5x\), \(x = \frac{5}{3}\), \(d = \frac{55}{6}\); доли — \(1\frac{2}{3}\); \(10\frac{5}{6}\); \(20\); \(29\frac{1}{6}\); \(38\frac{1}{3}\) хлеба.
Резюме: Таким образом, арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа \(d\). Её задают первый член и разность, а формула \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) позволяет сразу найти любой член или выяснить, является ли число членом прогрессии: номер должен быть натуральным. Характеристическое свойство — каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних — и служит признаком прогрессии, и помогает решать задачи, в которых первый член и разность неизвестны. Приём Гаусса даёт формулу суммы \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\), из которой следует, например, что сумма первых \(n\) нечётных чисел равна \(n^2\). Задачи на прогрессии решали ещё в Древнем Египте: раздел 100 хлебов сводится к двум уравнениям относительно первого члена и разности.
Загадки арифметической прогрессии.
План доклада:
1. Арифметическая прогрессия и формула её \(n\)-го члена.
2. Характеристическое свойство и задачи на него.
3. Сумма первых \(n\) членов: способ Гаусса.
4. Сумма первых \(n\) нечётных чисел.
5. Задача о хлебах из папируса Ахмеса.
Презентация к докладу: «Загадки арифметической прогрессии», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Арифметическая прогрессия и формула её \(n\)-го члена. Арифметической прогрессией называют числовую последовательность \((a_n)\), каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же для данной последовательности числа \(d\): \(a_{n+1} = a_n + d\) для любого натурального \(n\). Число \(d\) — разность прогрессии; при \(d > 0\) прогрессия возрастает, при \(d < 0\) убывает, при \(d = 0\) все её члены равны. Первый член и разность задают прогрессию полностью: \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2d\), \(a_4 = a_1 + 3d\), и вообще \(a_n = a_1 + (n - 1)d\). Эту формулу доказывают методом математической индукции: при \(n = 1\) она верна, а из \(a_k = a_1 + (k - 1)d\) следует \(a_{k+1} = a_k + d = a_1 + kd\). По формуле находят любой член, не выписывая предыдущих: если \(a_1 = 5\) и \(d = 4\), то \(a_{100} = 5 + 99 \cdot 4 = 401\). Из неё же находят номер члена — а номер должен быть натуральным числом. Число 2026 было бы членом этой прогрессии, если бы при некотором натуральном \(n\) выполнялось равенство \(5 + 4(n - 1) = 2026\), то есть \(4(n - 1) = 2021\). Но 2021 не делится на 4, поэтому такого натурального \(n\) нет, и число 2026 членом прогрессии не является.
2. Характеристическое свойство и задачи на него. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего: \(a_{n+1} = \frac{a_n + a_{n+2}}{2}\). Верно и обратное: последовательность, у которой это равенство выполняется при любом \(n\), — арифметическая прогрессия, ведь оно равносильно равенству \(a_{n+2} - a_{n+1} = a_{n+1} - a_n\). Это свойство и дало прогрессии название. Более общее свойство: если \(k + l = m + p\), то \(a_k + a_l = a_m + a_p\). Поэтому \(a_1 + a_9 = 2a_5\), и сумма первых девяти членов прогрессии равна \(9a_5\), даже если ни первый член, ни разность не известны. Красивое применение — загадка о прямоугольном треугольнике, длины сторон которого образуют арифметическую прогрессию \(a - d\), \(a\), \(a + d\), где \(d > 0\). Большая сторона \(a + d\) — гипотенуза, и по теореме Пифагора \((a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2\). Раскрыв скобки, получим \(a^2 = 4ad\), откуда \(a = 4d\), так как \(a > 0\). Значит, стороны равны \(3d\), \(4d\) и \(5d\): любой такой треугольник подобен «египетскому» треугольнику со сторонами 3, 4 и 5.
3. Сумма первых \(n\) членов: способ Гаусса. Известна легенда о том, как девятилетний Карл Фридрих Гаусс быстро сложил натуральные числа от 1 до 100. Он заметил, что суммы чисел, одинаково удалённых от концов ряда, равны: \(1 + 100 = 2 + 99 = \ldots = 50 + 51 = 101\), а таких пар 50, поэтому сумма равна \(101 \cdot 50 = 5050\). Тот же приём годится для любой арифметической прогрессии: запишем сумму \(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\) ещё раз в обратном порядке и сложим две записи почленно. Сумма каждой пары равна \(a_1 + a_n\), пар \(n\), поэтому \(2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n\) и \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). Например, трёхзначные числа, кратные 7, — это \(105\); \(112\); …; \(994\), всего их \(\frac{994 - 105}{7} + 1 = 128\), а их сумма равна \(\frac{105 + 994}{2} \cdot 128 = 1099 \cdot 64 = 70\,336\).
4. Сумма первых \(n\) нечётных чисел. Нечётные натуральные числа \(1\); \(3\); \(5\); \(7\); … образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2, её \(n\)-й член равен \(2n - 1\). По формуле суммы \(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = n^2\): \(1 = 1^2\), \(1 + 3 = 2^2\), \(1 + 3 + 5 = 3^2\), \(1 + 3 + 5 + 7 = 4^2\). Это равенство можно увидеть на клетчатой бумаге: если к квадрату со стороной \(n\) клеток приложить «уголок» из \(2n + 1\) клетки, получится квадрат со стороной \(n + 1\) клеток, так как \(n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2\). Это же равенство служит шагом доказательства формулы методом математической индукции: из \(1 + 3 + \ldots + (2k - 1) = k^2\) следует, что сумма первых \(k + 1\) нечётных чисел равна \(k^2 + (2k + 1) = (k + 1)^2\).
5. Задача о хлебах из папируса Ахмеса. Арифметическая прогрессия встречается уже в древнеегипетском папирусе Ахмеса (его называют также папирусом Ринда), переписанном более 3,5 тысячи лет назад. Одна из его задач: разделить 100 хлебов между пятью людьми так, чтобы доли составили арифметическую прогрессию и седьмая часть суммы трёх больших долей была равна сумме двух меньших. Обозначим меньшую долю через \(x\), разность через \(d\); тогда доли равны \(x\), \(x + d\), \(x + 2d\), \(x + 3d\), \(x + 4d\). Их сумма \(5x + 10d = 100\), то есть \(x + 2d = 20\): средняя доля равна 20. Второе условие: \((x + 2d) + (x + 3d) + (x + 4d) = 7(x + (x + d))\), то есть \(3x + 9d = 14x + 7d\), откуда \(d = 5{,}5x\). Тогда \(x + 11x = 20\), \(x = \frac{5}{3}\), \(d = \frac{55}{6}\), и доли равны \(1\frac{2}{3}\); \(10\frac{5}{6}\); \(20\); \(29\frac{1}{6}\); \(38\frac{1}{3}\) хлеба. Проверка: \(1\frac{2}{3} + 38\frac{1}{3} = 40\), \(10\frac{5}{6} + 29\frac{1}{6} = 40\), всего \(40 + 40 + 20 = 100\); три большие доли вместе составляют \(87\frac{1}{2}\), седьмая часть этого — \(12\frac{1}{2}\), и столько же составляют две меньшие доли.
Резюме: Таким образом, арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа \(d\). Её задают первый член и разность, а формула \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) позволяет сразу найти любой член или выяснить, является ли число членом прогрессии: номер должен быть натуральным. Характеристическое свойство — каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних — и служит признаком прогрессии, и помогает решать задачи, в которых первый член и разность неизвестны. Приём Гаусса даёт формулу суммы \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\), из которой следует, например, что сумма первых \(n\) нечётных чисел равна \(n^2\). Задачи на прогрессии решали ещё в Древнем Египте: раздел 100 хлебов сводится к двум уравнениям относительно первого члена и разности.
