Темы исследовательских работ на странице 143, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Последовательности и прогрессии в жизни.
План доклада:
1. Последовательности и способы их задания.
2. Числа Фибоначчи в природе.
3. Геометрическая прогрессия: деление клеток и радиоактивный распад.
4. Шахматная легенда и сумма геометрической прогрессии.
5. Форматы бумаги А0—А5.
Презентация к докладу: «Последовательности и прогрессии в жизни», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Последовательности и способы их задания. Числовая последовательность — набор чисел, каждому из которых приписан номер — натуральное число, причём даже равные числа имеют разные номера. Нечётные числа задают описанием, формулой \(a_n = 2n - 1\) или рекуррентно: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + 2\); без первого члена правило последовательность не задаёт.
2. Числа Фибоначчи в природе. В задаче Фибоначчи о кроликах («Книга абака», 1202 год) числа пар по месяцам — \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\), \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\), то есть \(1\); \(1\); \(2\); \(3\); \(5\); \(8\); \(13\); … Числа спиралей в корзинке подсолнечника часто равны соседним числам Фибоначчи, например 34 и 55, у сосновой шишки — нередко 8 и 13. Отношения соседних чисел приближаются к золотому сечению \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\).
3. Геометрическая прогрессия: деление клеток и радиоактивный распад. Значения ненулевой величины, которая за равные промежутки времени умножается на одно и то же число \(q \neq 0\), образуют геометрическую прогрессию. Некоторые бактерии делятся примерно каждые 20 минут, и через 3 часа, после 9 делений, из одной получится \(2^9 = 512\), а через сутки — \(2^{72}\). При радиоактивном распаде \(q = \frac{1}{2}\) за период полураспада: из 64 мг йода-131 (период около 8 суток) через 40 суток останется около \(64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 2\) мг.
4. Шахматная легенда и сумма геометрической прогрессии. Изобретатель шахмат попросил одно зерно на первую клетку и на каждую следующую вдвое больше; всего зёрен \(S_{64} = \frac{1 \cdot (2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1\), и при 0,03 г на зерно масса зерна больше \(5 \cdot 10^{11}\) т — в сотни раз больше годового мирового урожая пшеницы. Формула \(S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\) верна при \(q \neq 1\).
5. Форматы бумаги А0—А5. Площадь листа А0 — 1 м², каждый следующий формат — половина предыдущего, поэтому площади форматов — геометрическая прогрессия со знаменателем \(\frac{1}{2}\); у А4 это \(\frac{1}{16}\) м². Чтобы половина листа со сторонами \(b\) и \(0{,}5a\) была подобна листу со сторонами \(a\) и \(b\), нужно \(\frac{a}{b} = \frac{b}{0{,}5a}\), то есть \(\frac{a}{b} = \sqrt{2}\). Сумма площадей листов А1—А5 равна \(\frac{31}{32}\) м²: вырезав их из листа А0, получим в остатке лист А5.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что последовательности описывают многие процессы вокруг нас и задаются описанием, формулой \(n\)-го члена или рекуррентно. Рекуррентная последовательность Фибоначчи возникла из задачи о кроликах и часто встречается в строении растений. Геометрическая прогрессия описывает величины, которые за равные промежутки времени умножаются на одно и то же число: рост числа клеток при делении (\(q > 1\)) и радиоактивный распад (\(0 < q < 1\)). Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии объясняет, почему в шахматной легенде зёрен оказывается \(2^{64} - 1\), а площади листов форматов А0—А5 убывают в геометрической прогрессии со знаменателем \(\frac{1}{2}\).
Последовательности и прогрессии в жизни.
План доклада:
1. Последовательности и способы их задания.
2. Числа Фибоначчи в природе.
3. Геометрическая прогрессия: деление клеток и радиоактивный распад.
4. Шахматная легенда и сумма геометрической прогрессии.
5. Форматы бумаги А0—А5.
Презентация к докладу: «Последовательности и прогрессии в жизни», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Последовательности и способы их задания. Числовая последовательность — набор чисел, каждому из которых приписан порядковый номер — натуральное число, причём любые два числа набора, даже равные, имеют разные номера; её можно рассматривать как функцию натурального аргумента \(a_n = f(n)\). Последовательности встречаются на каждом шагу: показания счётчика воды в конце каждого месяца, рост ребёнка в каждый день рождения. Задать последовательность можно описанием («нечётные натуральные числа в порядке возрастания»), формулой \(n\)-го члена (\(a_n = 2n - 1\)) или рекуррентно — первыми членами и правилом, по которому следующий член вычисляется через предыдущие (\(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + 2\)). Правило без первых членов последовательность не задаёт: то же правило \(a_{n+1} = a_n + 2\) при \(a_1 = 2\) даёт чётные числа. Последовательности, как и функции, исследуют на монотонность и ограниченность.
2. Числа Фибоначчи в природе. Леонардо Пизанский, прозванный Фибоначчи, в «Книге абака» (1202 год) рассмотрел задачу о кроликах: каждая пара кроликов через два месяца после рождения приносит первую новую пару и затем приносит по паре ежемесячно, кролики не погибают. В каждом следующем месяце пар столько, сколько было в предыдущем месяце, плюс новорождённые, а новорождённых столько, сколько пар было двумя месяцами раньше. Если в первый месяц была одна новорождённая пара, получается последовательность \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\), \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\): \(1\); \(1\); \(2\); \(3\); \(5\); \(8\); \(13\); \(21\); \(34\); \(55\); \(89\); … Числа Фибоначчи встречаются в строении растений: в корзинке подсолнечника семечки образуют два семейства спиралей, закрученных в противоположные стороны, и числа спиралей в них часто равны соседним числам Фибоначчи, например 34 и 55, а чешуйки сосновой шишки нередко образуют 8 и 13 спиралей. Отношения соседних чисел Фибоначчи \(\frac{8}{5} = 1{,}6\), \(\frac{13}{8} = 1{,}625\), \(\frac{21}{13} \approx 1{,}615\) с ростом номера всё ближе к числу \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\), которое называют золотым сечением.
3. Геометрическая прогрессия: деление клеток и радиоактивный распад. Если ненулевая величина за каждый одинаковый промежуток времени умножается на одно и то же число \(q \neq 0\), её значения образуют геометрическую прогрессию: \(b_{n+1} = b_n \cdot q\), \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Так растёт число клеток при делении: в благоприятных условиях некоторые бактерии делятся примерно каждые 20 минут. Если в начальный момент была одна бактерия (\(b_1 = 1\), \(q = 2\)), то через 3 часа, то есть после 9 делений, их будет \(b_{10} = 2^9 = 512\), а через сутки, после 72 делений, — \(2^{72}\), число из 22 цифр. В природе такой рост быстро останавливается: кончаются пища и место. Убывающая геометрическая прогрессия описывает радиоактивный распад: за каждый период полураспада масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое, то есть \(q = \frac{1}{2}\). Период полураспада йода-131 — около 8 суток, поэтому из 64 мг этого изотопа через 40 суток, то есть через 5 периодов, останется около \(64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 2\) мг.
4. Шахматная легенда и сумма геометрической прогрессии. По легенде, изобретатель шахмат попросил в награду пшеничных зёрен: одно на первую клетку доски, два на вторую, четыре на третью и так далее — на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. Число зёрен на клетках — геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2, а всего зёрен — сумма её первых 64 членов: \(S_{64} = \frac{1 \cdot (2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615\). Даже если одно зерно весит всего 0,03 г, масса всего зерна превысит \(5 \cdot 10^{11}\) т — это в сотни раз больше, чем весь урожай пшеницы, собираемый в мире за год. Формула суммы \(S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\) верна при любом знаменателе \(q \neq 1\); при \(q = 1\) все члены равны \(b_1\) и \(S_n = nb_1\).
5. Форматы бумаги А0—А5. Лист бумаги формата А0 имеет площадь 1 м², а каждый следующий формат получается разрезанием листа предыдущего формата пополам поперёк длинной стороны. Поэтому площади листов форматов А0, А1, …, А5 образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем \(\frac{1}{2}\): \(1\); \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{16}\); \(\frac{1}{32}\) (м²). Площадь листа А4 — пятый член прогрессии: \(1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}\) м², то есть 625 см²; у настоящего листа размером 21 см на 29,7 см площадь — \(623{,}7\) см², так как длины сторон округлены до миллиметра. Чтобы при разрезании пополам форма листа сохранялась, отношение длинной стороны к короткой у половины листа должно быть таким же, как у целого листа. Если длинная сторона листа \(a\), короткая \(b\), то у его половины стороны \(b\) и \(0{,}5a\); приравняв отношения, получим \(\frac{a}{b} = \frac{b}{0{,}5a}\), откуда \(a^2 = 2b^2\) и \(\frac{a}{b} = \sqrt{2}\) — такое отношение сторон и выбрано для этих форматов. Поэтому длины длинных сторон листов А0, А1, А2, … тоже образуют геометрическую прогрессию — со знаменателем \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Сумма площадей листов А1—А5 равна \(\frac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{31}{32}\) м²: из листа А0 можно вырезать по одному листу каждого из форматов А1—А5, и останется ещё \(\frac{1}{32}\) м² — как раз лист А5.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что последовательности описывают многие процессы вокруг нас и задаются описанием, формулой \(n\)-го члена или рекуррентно. Рекуррентная последовательность Фибоначчи возникла из задачи о кроликах и часто встречается в строении растений. Геометрическая прогрессия описывает величины, которые за равные промежутки времени умножаются на одно и то же число: рост числа клеток при делении (\(q > 1\)) и радиоактивный распад (\(0 < q < 1\)). Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии объясняет, почему в шахматной легенде зёрен оказывается \(2^{64} - 1\), а площади листов форматов А0—А5 убывают в геометрической прогрессии со знаменателем \(\frac{1}{2}\).
