Темы исследовательских работ на странице 74, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Приближённые значения корней в древности.
2. Пифагорейцы и открытие несоизмеримости.
3. Феодор, Теэтет, Евдокс и Евклид.
4. Корни как числа: от Средних веков до Нового времени.
5. Число \(\pi\) и строгая теория действительных чисел.

Презентация к докладу: «История появления иррациональных чисел», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Приближённые значения корней в древности. Задачи, в которых нужно найти сторону квадрата по его площади или диагональ квадрата по его стороне, решали ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. На одной вавилонской клинописной табличке первой половины II тысячелетия до н. э. изображён квадрат с диагоналями и записано значение \(\sqrt{2}\) в шестидесятеричной системе счисления: \(1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} \approx 1{,}414213\). Это приближение отличается от \(\sqrt{2}\) меньше чем на одну миллионную. Вычислители древности пользовались приближёнными значениями корней, а вопрос о том, можно ли выразить такое число точно, впервые поставили древнегреческие математики.

2. Пифагорейцы и открытие несоизмеримости. Пифагор (VI в. до н. э.) и его последователи учили, что «всё есть число», понимая под числами натуральные числа, а под отношениями величин — отношения натуральных чисел. Отсюда следовало, что любые два отрезка соизмеримы, то есть имеют общую меру. Но в V веке до н. э. пифагорейцы обнаружили, что сторона и диагональ квадрата несоизмеримы. По преданию, это открытие сделал пифагореец Гиппас из Метапонта.

Доказательство от противного, основанное на чётности, упоминает Аристотель. Если сторона квадрата равна 1, то его диагональ \(d\) удовлетворяет равенству \(d^2 = 1^2 + 1^2 = 2\). Пусть \(d = \frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) — натуральные числа и дробь несократима. Тогда \(m^2 = 2n^2\), поэтому число \(m\) чётное (квадрат нечётного числа нечётен): \(m = 2k\). Получаем \(n^2 = 2k^2\), и число \(n\) тоже чётное — дробь сократима на 2, противоречие.

3. Феодор, Теэтет, Евдокс и Евклид. В диалоге Платона «Теэтет» рассказывается, что Феодор Киренский доказал несоизмеримость с единичным отрезком сторон квадратов площадью 3, 5, 6 и так далее до 17, кроме площадей 4, 9 и 16. На современном языке это иррациональность чисел \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\), …, \(\sqrt{17}\). Его ученик Теэтет (IV в. до н. э.) доказал общее утверждение: если натуральное число \(a\) не является точным квадратом, то \(\sqrt{a}\) — иррациональное число.

Открытие несоизмеримости показало, что учение об отношениях, основанное на натуральных числах, не годится для несоизмеримых величин. Евдокс Книдский (IV в. до н. э.) построил общую теорию отношений величин, пригодную и для них. Её изложил Евклид в «Началах» (около 300 г. до н. э.): теории отношений посвящена V книга «Начал», а X книга целиком посвящена несоизмеримым величинам. Греческие математики не считали отношения несоизмеримых величин числами: такие величины изображали отрезками, а действия с ними выполняли геометрически.

4. Корни как числа: от Средних веков до Нового времени. Математики Индии и стран ислама выполняли арифметические действия с квадратными корнями так же, как с другими числами, а Омар Хайям (XI—XII вв.) предлагал считать числами и отношения несоизмеримых величин. Латинские переводчики арабских трактатов называли корень словом radix, отсюда слово «радикал». Термины «рациональный» и «иррациональный» связаны с латинским словом ratio — «отношение».

Знак \(\sqrt{\ }\) ввёл немецкий математик Кристоф Рудольф в 1525 году, а черту над подкоренным выражением добавил Рене Декарт в «Геометрии» (1637). В 1585 году нидерландский учёный Симон Стевин изложил в сочинении «Десятая» правила действий с десятичными дробями и настаивал на том, что иррациональные числа — такие же числа, как и все остальные. Десятичные дроби позволили вычислять значения корней с любой нужной точностью: \(1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42\), так как \(1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2\).

5. Число \(\pi\) и строгая теория действительных чисел. Число \(\pi\) — отношение длины окружности к её диаметру — с древности знали приближённо: Архимед (III в. до н. э.) доказал, что \(3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}\). Иррациональность числа \(\pi\) доказал Иоганн Генрих Ламберт в 1761 году.

До XIX века иррациональными числами пользовались, опираясь на геометрическую наглядность, без строгого определения. В 1872 году Рихард Дедекинд определил действительные числа с помощью сечений множества рациональных чисел: например, число \(\sqrt{2}\) отделяет отрицательные рациональные числа и неотрицательные, квадрат которых меньше 2, от положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. В том же году свою теорию действительных чисел опубликовал Георг Кантор, а ещё раньше строгое построение излагал в лекциях Карл Вейерштрасс. С тех пор действительные числа имеют строгое определение, а правила действий с ними, в том числе свойства квадратных корней, доказываются.

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что иррациональные числа появились как ответ на открытие пифагорейцев: диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, и отношение их длин нельзя выразить отношением натуральных чисел. Древнегреческие математики (Феодор, Теэтет, Евдокс, Евклид) доказали иррациональность корней из натуральных чисел, не являющихся точными квадратами, и построили теорию несоизмеримых величин; средневековые математики стали обращаться с корнями как с числами; в XVI—XVII веках появились знак корня и десятичные дроби, позволившие вычислять корни с любой точностью; в XVIII веке была доказана иррациональность числа \(\pi\), а в XIX веке Дедекинд, Кантор и Вейерштрасс построили строгую теорию действительных чисел.