Темы исследовательских работ на странице 74, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Общая мера и соизмеримые отрезки.
2. Как найти общую меру: последовательное вычитание.
3. Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата.
4. Другие примеры соизмеримых и несоизмеримых отрезков.
5. Несоизмеримые отрезки и иррациональные числа.

Презентация к докладу: «Соизмеримые и несоизмеримые отрезки», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Общая мера и соизмеримые отрезки. Общей мерой двух отрезков называется отрезок, который укладывается целое число раз в каждом из них. Например, у отрезков длиной 12 см и 8 см общая мера — отрезок длиной 4 см: он укладывается в них 3 и 2 раза. Отрезки, у которых есть общая мера, называются соизмеримыми, а отрезки, у которых общей меры нет, — несоизмеримыми.

Утверждение. Два отрезка соизмеримы тогда и только тогда, когда отношение их длин — рациональное число.

Пусть длины отрезков равны \(a\) и \(b\). Если их общая мера длиной \(e\) укладывается в них \(m\) и \(n\) раз (\(m\) и \(n\) — натуральные числа), то \(a = me\), \(b = ne\) и \(\frac{a}{b} = \frac{me}{ne} = \frac{m}{n}\) — рациональное число. Обратно, пусть отношение \(\frac{a}{b}\) рационально. Оно положительно, поэтому \(\frac{a}{b} = \frac{m}{n}\) с натуральными \(m\) и \(n\). Отрезок длиной \(e = \frac{b}{n}\) укладывается во втором отрезке \(n\) раз, а так как \(a = \frac{m}{n} \cdot b = m \cdot \frac{b}{n} = me\), то в первом — \(m\) раз: это общая мера. В частности, отрезок соизмерим с единичным тогда и только тогда, когда его длина — рациональное число.

2. Как найти общую меру: последовательное вычитание. Из большего отрезка вычитают меньший; с разностью и меньшим отрезком поступают так же и продолжают, пока отрезки не окажутся равными. Для отрезков 21 см и 15 см получаем разности \(21 - 15 = 6\), \(15 - 6 = 9\), \(9 - 6 = 3\), \(6 - 3 = 3\). Отрезки сравнялись, и отрезок 3 см — общая мера исходных отрезков: он укладывается в них 7 и 5 раз.

Способ работает, потому что отрезок, который укладывается целое число раз в каждом из двух отрезков, укладывается целое число раз и в их разности, и в их сумме. Поэтому при переходе к паре «разность и меньший отрезок» общие меры сохраняются, и отрезок, на котором процесс остановился, — общая мера исходных отрезков, причём наибольшая. Если отрезки соизмеримы и \(e\) — их общая мера, то сумма длин отрезков пары, измеренная отрезком \(e\), — натуральное число, которое уменьшается на каждом шаге, а натуральное число не может уменьшаться бесконечно. Значит, для соизмеримых отрезков последовательное вычитание заканчивается, а для несоизмеримых продолжается бесконечно. Этот способ описан в «Началах» Евклида; для натуральных чисел он даёт их наибольший общий делитель.

3. Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Пусть сторона квадрата равна \(a\), а его диагональ равна \(d\). Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника с катетами \(a\) и \(a\), и по теореме Пифагора \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). Числа \(a\) и \(d\) положительны, поэтому \(d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\), и отношение \(\frac{d}{a} = \sqrt{2}\) не зависит от длины стороны.

Число \(\sqrt{2}\) иррационально. Предположим, что \(\sqrt{2} = \frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) — натуральные числа и дробь несократима. Тогда \(m^2 = 2n^2\), то есть число \(m^2\) чётное. Квадрат нечётного числа нечётен, поэтому само число \(m\) чётное: \(m = 2k\). Тогда \(4k^2 = 2n^2\), \(n^2 = 2k^2\), и по той же причине число \(n\) тоже чётное. Получилось, что дробь \(\frac{m}{n}\) можно сократить на 2, — противоречие. Отношение длин диагонали и стороны иррационально, значит, диагональ и сторона квадрата несоизмеримы: последовательное вычитание для них никогда не закончится.

4. Другие примеры соизмеримых и несоизмеримых отрезков.
- Отрезки длиной \(\sqrt{8}\) и \(\sqrt{2}\) соизмеримы: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), общая мера — отрезок длиной \(\sqrt{2}\). При этом каждый из них несоизмерим с единичным отрезком.
- Отрезки длиной \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) и \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) соизмеримы: отношение их длин равно \(\frac{2}{3}\), общая мера — отрезок длиной \(\sqrt{3}\).
- Отрезки длиной \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{3}\) несоизмеримы: отношение их длин \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\) иррационально, так как число 6 не является точным квадратом и \(\sqrt{6}\) — иррациональное число.
- Диагональ прямоугольника со сторонами 3 и 4 равна 5 и соизмерима с каждой стороной, а диагональ прямоугольника со сторонами 1 и 2 равна \(\sqrt{5}\) и несоизмерима ни с одной из них.

5. Несоизмеримые отрезки и иррациональные числа. Пифагорейцы считали, что любые два отрезка соизмеримы, то есть что длину любого отрезка при выбранной единице можно выразить рациональным числом. Открытие несоизмеримости стороны и диагонали квадрата (по преданию, его сделал пифагореец Гиппас в V веке до н. э.) показало, что рациональных чисел для измерения длин недостаточно. Длина отрезка, несоизмеримого с единичным, выражается иррациональным числом, а рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел. Иррациональную длину можно приближать рациональными числами с любой точностью: например, \(1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42\), так как \(1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2\).

Резюме: Таким образом, два отрезка соизмеримы, если у них есть общая мера, и это равносильно тому, что отношение их длин — рациональное число; общую меру находят последовательным вычитанием, которое для соизмеримых отрезков заканчивается, а для несоизмеримых продолжается бесконечно. Сторона и диагональ квадрата несоизмеримы, так как отношение их длин равно иррациональному числу \(\sqrt{2}\). Существование несоизмеримых отрезков показало, что для измерения длин рациональных чисел недостаточно, и привело к понятиям иррационального и действительного числа.