Темы исследовательских работ на странице 74, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Число цифр корня и подбор.
2. Разложение на простые множители и корни из десятичных дробей.
3. Поразрядное приближение и округление.
4. Извлечение корня «столбиком».
5. Метод Герона.

Презентация к докладу: «Алгоритмы извлечения квадратного корня из многозначного числа», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Число цифр корня и подбор. Разобьём запись натурального числа справа налево на группы по две цифры — грани; в самой левой грани может оказаться одна цифра. Если число является квадратом натурального числа \(k\), то в записи числа \(k\) столько цифр, сколько граней в записи его квадрата. Действительно, если в записи числа \(k\) ровно \(s\) цифр, то \(10^{s - 1} \leqslant k < 10^s\). Все части этих неравенств неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат: \(10^{2s - 2} \leqslant k^2 < 10^{2s}\), то есть в записи числа \(k^2\) либо \(2s - 1\), либо \(2s\) цифр — ровно \(s\) граней.

Корень из точного квадрата с небольшим числом цифр удобно подобрать: оценить его квадратами круглых чисел и учесть последнюю цифру. Квадрат натурального числа может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9, и его последняя цифра зависит только от последней цифры самого числа. Пример: \(\sqrt{5329}\). Поскольку \(70^2 = 4900 < 5329 < 6400 = 80^2\), корень (если он натуральный) находится между числами 70 и 80. Число 5329 оканчивается цифрой 9, поэтому корень оканчивается цифрой 3 или 7: остаются числа 73 и 77. Так как \(75^2 = 5625 > 5329\), корень меньше 75. Проверка: \(73^2 = 5329\), поэтому \(\sqrt{5329} = 73\).

2. Разложение на простые множители и корни из десятичных дробей. Натуральное число является точным квадратом тогда и только тогда, когда все простые множители входят в его разложение в чётных степенях; корень получается, если показатель каждой степени разделить на 2. Например, \(104\,976 = 2^4 \cdot 3^8\), поэтому \(\sqrt{104\,976} = 2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324\). Если же какой-то простой множитель входит в разложение в нечётной степени, то корень из числа иррационален, но разложение помогает вынести множитель из-под знака корня: \(1500 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3\) и \(\sqrt{1500} = \sqrt{10^2 \cdot 15} = 10\sqrt{15}\).

Корень из десятичной дроби сводят к корню из натурального числа, записав дробь обыкновенной, знаменатель которой — чётная степень числа 10: \[\sqrt{0{,}0729} = \sqrt{\frac{729}{10\,000}} = \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{10\,000}} = \frac{27}{100} = 0{,}27.\]

3. Поразрядное приближение и округление. Если число не является точным квадратом, корень из него находят приближённо, цифра за цифрой, сравнивая квадраты: для неотрицательных чисел большему квадрату соответствует большее число. Для \(\sqrt{7}\): \(2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2\), поэтому \(2 < \sqrt{7} < 3\);
\(2{,}6^2 = 6{,}76 < 7 < 7{,}29 = 2{,}7^2\), поэтому \(2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7\). Чтобы округлить корень до десятых, его сравнивают с серединой между \(2{,}6\) и \(2{,}7\): \(2{,}65^2 = 7{,}0225 > 7\), значит, \(\sqrt{7} < 2{,}65\) и \(\sqrt{7} \approx 2{,}6\). Сравнивать нужно именно с серединой, а не смотреть, к какому квадрату ближе подкоренное число: число \(20{,}4\) ближе к \(16 = 4^2\), чем к \(25 = 5^2\), однако \(4{,}5^2 = 20{,}25 < 20{,}4\), поэтому \(\sqrt{20{,}4} > 4{,}5\), и с точностью до единиц \(\sqrt{20{,}4} \approx 5\).

4. Извлечение корня «столбиком». Этот способ находит цифры корня одну за другой. Покажем его на числе \(104\,976\) с гранями 10, 49 и 76.
1. Первая цифра корня — наибольшая цифра, квадрат которой не больше первой грани: \(3^2 = 9 \leqslant 10 < 16 = 4^2\). Первая цифра — 3, остаток \(10 - 9 = 1\).
2. Припишем к остатку следующую грань: получим 149. Удвоим найденную часть корня: \(2 \cdot 3 = 6\). Следующая цифра \(x\) — наибольшая цифра, при которой число, записанное цифрами 6 и \(x\), умноженное на \(x\), не больше 149: \(62 \cdot 2 = 124 \leqslant 149\), а \(63 \cdot 3 = 189 > 149\). Вторая цифра — 2, остаток \(149 - 124 = 25\).
3. Припишем грань 76: получим 2576. Удвоим найденную часть корня: \(2 \cdot 32 = 64\). Подберём цифру: \(644 \cdot 4 = 2576\). Третья цифра — 4, остаток 0.

Значит, \(\sqrt{104\,976} = 324\). Правило следует из формулы квадрата суммы: если \(p\) — число, составленное из уже найденных цифр корня, а \(x\) — следующая цифра, то \((10p + x)^2 = 100p^2 + (20p + x) \cdot x\). Поэтому цифра \(x\) подходит, если произведение \((20p + x) \cdot x\) не больше остатка с приписанной новой гранью, а число \(20p + x\) записывается удвоенным числом \(p\) с приписанной справа цифрой \(x\). Если приписывать к остатку грани 00, получаются цифры корня после запятой.

5. Метод Герона. Этот способ описал Герон Александрийский (I в. н. э.). Пусть \(a > 0\) и \(x\) — положительное приближённое значение числа \(\sqrt{a}\). Если \(x > \sqrt{a}\), то \(\frac{a}{x} < \frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}\), и наоборот. Поэтому за новое приближение берут среднее арифметическое этих чисел, \(\frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right)\), и повторяют шаг. Тождество \[\frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right) - \sqrt{a} = \frac{(x - \sqrt{a})^2}{2x}\] показывает, что новое приближение не меньше \(\sqrt{a}\), а его погрешность равна квадрату прежней погрешности, делённому на \(2x\): чем точнее приближение, тем быстрее оно улучшается. Для \(\sqrt{2}\) с начальным приближением 1 получаем \(\frac{3}{2}\), \(\frac{17}{12}\), \(\frac{577}{408}\). Третье приближение больше \(\sqrt{2}\), а \(2 : \frac{577}{408} = \frac{816}{577}\) меньше \(\sqrt{2}\); так как \(\frac{816}{577} > 1{,}41421\) и \(\frac{577}{408} < 1{,}41422\), получаем \(1{,}41421 < \sqrt{2} < 1{,}41422\): три шага дали пять верных знаков после запятой.

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что для извлечения квадратного корня из многозначного числа сначала определяют число цифр корня по граням и оценивают корень квадратами круглых чисел, а затем используют последнюю цифру или разложение на простые множители; корни из десятичных дробей сводят к корням из натуральных чисел. Если число не является точным квадратом, корень приближают десятичными дробями поразрядно, «столбиком» или методом Герона. Оценка по граням, подбор, поразрядное приближение и «столбик» опираются на то, что из двух неотрицательных чисел больше то, квадрат которого больше, а «столбик» и метод Герона — ещё и на формулы сокращённого умножения.