Темы исследовательских работ на странице 43, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Стороны и углы треугольника.
2. Неравенство треугольника.
3. Границы для третьей стороны треугольника.
4. Перпендикуляр и наклонная.
5. Прямоугольник наибольшей площади.

Презентация к докладу: «Неравенства в геометрии», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Стороны и углы треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно: против большего угла лежит бо́льшая сторона. Например, в треугольнике со сторонами 5 см, 7 см и 9 см наибольший угол лежит против стороны 9 см, а наименьший — против стороны 5 см. Отсюда следует, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов: прямой угол — наибольший угол такого треугольника, так как два других угла в сумме составляют \(90^\circ\) и каждый из них меньше \(90^\circ\).

Неравенства даёт и теорема о сумме углов треугольника: наименьший угол треугольника не больше \(60^\circ\), а наибольший — не меньше \(60^\circ\). Если бы все три угла были больше \(60^\circ\), то, сложив три таких неравенства, мы получили бы, что сумма углов больше \(180^\circ\), — противоречие. Так же рассуждают, если все три угла меньше \(60^\circ\).

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, поэтому он больше каждого из этих углов. Например, если внешний угол треугольника \(ABC\) при вершине \(C\) равен \(120^\circ\), то каждый из углов \(A\) и \(B\) меньше \(120^\circ\), а в сумме они составляют \(120^\circ\).

2. Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон: если \(a\), \(b\), \(c\) — длины сторон треугольника, то \(a < b + c\), \(b < a + c\) и \(c < a + b\). Если же одна из трёх длин не меньше суммы двух других, то треугольника с такими сторонами не существует. Так, из отрезков 3 см, 4 см и 8 см треугольник не составить, потому что \(8 > 3 + 4\). Из отрезков 3 см, 4 см и 7 см — тоже: \(7 = 3 + 4\), и три точки оказываются на одной прямой.

Следствия. Каждая сторона треугольника меньше его полупериметра: прибавив к обеим частям неравенства \(a < b + c\) число \(a\), получаем \(2a < a + b + c\), то есть \(2a < P\), где \(P\) — периметр, откуда \(a < \frac{P}{2}\). Длина отрезка не больше длины ломаной, соединяющей его концы: для любых точек \(A\), \(B\), \(C\) верно \(AC \leqslant AB + BC\), причём равенство выполняется, только если точка \(B\) лежит на отрезке \(AC\).

3. Границы для третьей стороны треугольника. Из неравенств \(a < b + c\) и \(b < a + c\) получаем \(a - b < c\) и \(b - a < c\), то есть \(-c < a - b < c\). Длина \(c\) положительна, поэтому двойное неравенство \(-c < a - b < c\) равносильно неравенству \(|a - b| < c\). Вместе с неравенством \(c < a + b\) получаем двойное неравенство \[|a - b| < c < a + b.\] Значит, каждая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон и меньше их суммы.

Пример 1. Две стороны треугольника равны 3 см и 8 см. Тогда длина \(c\) третьей стороны удовлетворяет неравенству \(|3 - 8| < c < 3 + 8\), то есть \(5 < c < 11\). Если \(c\) выражается целым числом сантиметров, то это одно из чисел 6, 7, 8, 9, 10: целых чисел в интервале \((5; 11)\) ровно \(11 - 5 - 1 = 5\). Если к тому же периметр треугольника не больше 20 см, то \(3 + 8 + c \leqslant 20\), то есть \(c \leqslant 9\), и из системы неравенств \(5 < c < 11\) и \(c \leqslant 9\) получаем \(5 < c \leqslant 9\): подходят длины 6, 7, 8 и 9 см.

Пример 2. Две стороны равнобедренного треугольника равны 4 см и 9 см. Третья сторона равна одной из них. Если она равна 4 см, то должно выполняться неравенство \(9 < 4 + 4\), а оно неверно, поэтому такого треугольника нет. Значит, третья сторона равна 9 см, и периметр треугольника равен \(9 + 9 + 4 = 22\) (см).

4. Перпендикуляр и наклонная. Пусть из точки \(M\), не лежащей на прямой, проведены к этой прямой перпендикуляр \(MH\) и наклонная \(MK\). Треугольник \(MHK\) прямоугольный, его прямой угол — при вершине \(H\). Наклонная \(MK\) — гипотенуза этого треугольника, а перпендикуляр \(MH\) — катет, поэтому \(MH < MK\). Значит, перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же прямой, и поэтому расстояние от точки до прямой измеряют длиной перпендикуляра.

5. Прямоугольник наибольшей площади. Из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\), тогда его площадь равна \(ab\). Квадрат с тем же периметром имеет сторону \(\frac{a + b}{2}\) и площадь \(\frac{(a + b)^2}{4}\). Сравним через разность числа \((a + b)^2\) и \(4ab\): \((a + b)^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\), а \((a - b)^2 \geqslant 0\). Значит, \(4ab \leqslant (a + b)^2\), и после умножения обеих частей на положительное число \(\frac{1}{4}\) получаем \(ab \leqslant \frac{(a + b)^2}{4}\). Равенство выполняется только при \(a = b\), то есть когда прямоугольник является квадратом.

Пример. Периметр равен 20 см. У квадрата со стороной 5 см площадь равна 25 см², а у прямоугольников со сторонами 6 см и 4 см, 7 см и 3 см, 9 см и 1 см площади равны 24 см², 21 см² и 9 см².

Резюме: Таким образом, неравенства в геометрии связывают стороны и углы треугольника (против большей стороны лежит больший угол, внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним), длины отрезков (неравенство треугольника, перпендикуляр короче наклонной) и площади фигур (из прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат). Неравенство треугольника с помощью модуля записывается одним двойным неравенством \(|a - b| < c < a + b\), а задачи о возможных длинах сторон сводятся к системам неравенств, которые решаются методами алгебры.