Темы исследовательских работ на странице 43, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Что значит доказать неравенство. Сравнение через разность.
2. Свойства числовых неравенств и метод разделяющего числа.
3. Неотрицательность квадрата.
4. Разбор случаев и доказательство от противного.
5. Оценки.

Презентация к докладу: «Методы доказательств неравенств», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Что значит доказать неравенство. Сравнение через разность. Доказать неравенство с переменными — значит показать, что оно верно при всех значениях переменных, о которых идёт речь: например, при всех \(a\) или при всех положительных \(a\). Проверка на отдельных числах доказательством не является — она может только опровергнуть неравенство: \(a^2 > a\) верно при \(a = 2\) и при \(a = -1\), но неверно при \(a = \frac{1}{2}\), так как \(\frac{1}{4} < \frac{1}{2}\).

Основной приём — сравнение через разность: чтобы доказать неравенство \(A > B\), достаточно доказать, что \(A - B > 0\); прибавив к обеим частям выражение \(B\), получаем \(A > B\). Так же из \(A - B \geqslant 0\) следует \(A \geqslant B\). Например, \((a + 2)^2 - a(a + 4) = a^2 + 4a + 4 - a^2 - 4a = 4\), а число 4 положительно, поэтому \((a + 2)^2 > a(a + 4)\) при любом значении \(a\).

2. Свойства числовых неравенств и метод разделяющего числа. Новые верные неравенства получают из известных по свойствам:
- к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число;
- обе части можно умножить на положительное число, сохранив знак неравенства, или на отрицательное, изменив знак на противоположный;
- неравенства одного знака можно почленно складывать, а если их части неотрицательны — и почленно перемножать;
- если \(a < c\) и \(c < b\), то \(a < b\).

Условия свойств существенны. Неравенства \(-3 < 1\) и \(-2 < 1\) верны, но их левые части отрицательны, и перемножать их нельзя: \((-3) \cdot (-2) = 6\), а \(1 \cdot 1 = 1\). Почленно вычитать неравенства тоже нельзя: из верных неравенств \(5 > 2\) и \(4 > 0\) вычитание дало бы неверное неравенство \(1 > 2\).

Последнее свойство даёт метод разделяющего числа: чтобы сравнить два числа, подбирают число, которое больше одного из них и меньше другого. Сравним \(31^{11}\) и \(17^{14}\). Части неравенств \(31 < 32\) и \(16 < 17\) положительны, поэтому эти неравенства можно возвести в натуральную степень: \(31^{11} < 32^{11} = 2^{55}\) и \(2^{56} = 16^{14} < 17^{14}\). Так как \(2^{55} < 2^{56}\), получаем \(31^{11} < 17^{14}\).

3. Неотрицательность квадрата. Квадрат любого числа неотрицателен: \(a^2 \geqslant 0\), причём \(a^2 = 0\) только при \(a = 0\). Вместе со сравнением через разность это даёт много важных неравенств.

Пример 1. При любых значениях \(a\) и \(b\) верно неравенство \(a^2 + b^2 \geqslant 2ab\), так как \(a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2\), а \((a - b)^2 \geqslant 0\). Равенство выполняется только при \(a = b\).

Пример 2. При любом положительном значении \(a\) верно неравенство \(a + \frac{1}{a} \geqslant 2\). Из неравенства \((a - 1)^2 \geqslant 0\) получаем \(a^2 + 1 \geqslant 2a\). Умножим обе части на положительное число \(\frac{1}{a}\), знак неравенства сохранится: \(a + \frac{1}{a} \geqslant 2\). Равенство выполняется только при \(a = 1\).

4. Разбор случаев и доказательство от противного. Если заранее неизвестен знак множителя или выражения под знаком модуля, рассматривают несколько случаев и в каждом доказывают неравенство отдельно. Докажем, что \(|x - 1| + |x - 3| \geqslant 2\) при любом значении \(x\).
- Если \(x < 1\), то выражения \(x - 1\) и \(x - 3\) отрицательны, и сумма модулей равна \((1 - x) + (3 - x) = 4 - 2x\), причём \(4 - 2x > 2\), так как \(2x < 2\).
- Если \(1 \leqslant x \leqslant 3\), то \(x - 1 \geqslant 0\) и \(x - 3 \leqslant 0\), и сумма модулей равна \((x - 1) + (3 - x) = 2\).
- Если \(x > 3\), то оба выражения положительны, и сумма модулей равна \((x - 1) + (x - 3) = 2x - 4\), причём \(2x - 4 > 2\), так как \(2x > 6\).

Геометрически \(|x - 1| + |x - 3|\) — сумма расстояний от точки \(x\) до точек 1 и 3, и она не может быть меньше расстояния между этими точками, равного 2.

При доказательстве от противного предполагают, что утверждение неверно, и приходят к противоречию с условием или с известным фактом. Пример: если \(a + b > 10\), то хотя бы одно из чисел \(a\) и \(b\) больше 5. Предположим противное: \(a \leqslant 5\) и \(b \leqslant 5\). Сложив эти неравенства одного знака, получим \(a + b \leqslant 10\), что противоречит условию \(a + b > 10\).

5. Оценки. Оценить выражение — значит найти промежуток, как можно точнее показывающий, какие значения принимает это выражение. Для этого оценивают части выражения по отдельности и применяют свойства неравенств, следя за знаками. Пусть \(2 < a < 3\) и \(1 < b < 2\). Умножив все части второго неравенства на \(-1\), получаем \(-2 < -b < -1\), а сложив это неравенство с первым, получаем \(0 < a - b < 2\). Почленное вычитание дало бы «оценку» \(1 < a - b < 1\), которая не выполняется ни при каких значениях \(a\) и \(b\).

Оценки помогают и доказывать неравенства. В сумме \(\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \ldots + \frac{1}{20}\) десять слагаемых: каждое из первых девяти больше \(\frac{1}{20}\) (если \(0 < k < 20\), то \(\frac{1}{k} > \frac{1}{20}\)), а последнее равно \(\frac{1}{20}\). Поэтому сумма больше, чем \(10 \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{2}\).

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что доказательство неравенства — это цепочка переходов от уже известных верных неравенств к нужному. Основные методы доказательства: сравнение через разность, применение свойств числовых неравенств и метод разделяющего числа, неотрицательность квадрата, разбор случаев, доказательство от противного и оценки. В каждом из методов важно следить за знаками множителей и за строгостью неравенств, а проверка на отдельных числах может только опровергнуть неравенство, но не доказать его.