Страница 43 номер 198, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Определите, какой промежуток получится в результате следующих операций: \([-5; 9] \cap ([-8; 0] \cup (-6; 4))\).
Первым выполняется действие в скобках.
Числа \(x\), для которых \(-8 \leqslant x \leqslant 0\), принадлежат отрезку \([-8; 0]\), а числа \(x\), для которых \(0 < x < 4\), — интервалу \((-6; 4)\), так как \(-6 < 0 < x < 4\).
Числа, меньшие \(-8\), не принадлежат ни одному из промежутков. Число 4 не принадлежит отрезку \([-8; 0]\), так как \(4 > 0\), и интервалу \((-6; 4)\) — это его выколотый конец; числа, большие 4, тоже не принадлежат ни одному из промежутков.
Значит, \([-8; 0] \cup (-6; 4) = [-8; 4)\).
Второе действие — пересечение \([-5; 9] \cap [-8; 4)\).
Число \(-5\) принадлежит отрезку \([-5; 9]\) — скобка квадратная — и полуинтервалу \([-8; 4)\), так как \(-8 \leqslant -5 < 4\); числа, меньшие \(-5\), отрезку \([-5; 9]\) не принадлежат.
Число 4 не принадлежит полуинтервалу \([-8; 4)\) — скобка круглая; числа, большие 4, ему тоже не принадлежат.
Каждое число \(x\), для которого \(-5 \leqslant x < 4\), принадлежит обоим промежуткам, так как \(-8 < -5 \leqslant x < 4 < 9\).
Значит, \([-5; 9] \cap [-8; 4) = [-5; 4)\) — в результате операций получается полуинтервал \([-5; 4)\).
Ответ: \([-5; 4)\).
Определите, какой промежуток получится в результате следующих операций: \([-5; 9] \cap ([-8; 0] \cup (-6; 4))\).
Действие в скобках выполняется первым: найдём объединение \([-8; 0] \cup (-6; 4)\).
Объединение состоит из всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из промежутков \([-8; 0]\) и \((-6; 4)\). Каждое число \(x\), для которого \(-8 \leqslant x \leqslant 0\), принадлежит отрезку \([-8; 0]\), а каждое число \(x\), для которого \(0 < x < 4\), принадлежит интервалу \((-6; 4)\), так как \(-6 < 0 < x < 4\). Числа, меньшие \(-8\), не принадлежат ни одному из промежутков. Число 4 не принадлежит отрезку \([-8; 0]\), так как \(4 > 0\), и не принадлежит интервалу \((-6; 4)\) — это его выколотый конец; числа, большие 4, тоже не принадлежат ни одному из промежутков. Значит, \([-8; 0] \cup (-6; 4) = [-8; 4)\).
Найдём пересечение \([-5; 9] \cap [-8; 4)\), изобразив оба промежутка на одной числовой прямой.
Пересечение состоит из чисел, принадлежащих каждому из промежутков \([-5; 9]\) и \([-8; 4)\). Число \(-5\) принадлежит отрезку \([-5; 9]\) — скобка квадратная — и полуинтервалу \([-8; 4)\), так как \(-8 \leqslant -5 < 4\); значит, число \(-5\) принадлежит пересечению. Числа, меньшие \(-5\), отрезку \([-5; 9]\) не принадлежат. Число 4 принадлежит отрезку \([-5; 9]\), но не принадлежит полуинтервалу \([-8; 4)\) — скобка круглая, поэтому в пересечение не входит; числа, большие 4, полуинтервалу \([-8; 4)\) тоже не принадлежат. Каждое число \(x\), для которого \(-5 \leqslant x < 4\), принадлежит обоим промежуткам, так как \(-8 < -5 \leqslant x < 4 < 9\). Значит, \([-5; 9] \cap [-8; 4) = [-5; 4)\).
Таким образом, в результате операций получается полуинтервал \([-5; 4)\).
Ответ: \([-5; 4)\).
