Страница 43 номер 197, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(a = 7\) см
\(b = 5\) см
\(P \leqslant 17\) см
длины сторон различны и выражаются целым числом сантиметров

Найти: длину третьей стороны.

Решение:

Обозначим длину третьей стороны через \(c\) см. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон; если же одна из трёх длин равна сумме двух других, то три вершины лежат на одной прямой и треугольника нет. Поэтому все три неравенства треугольника строгие: \(c < 7 + 5\), \(7 < 5 + c\) и \(5 < 7 + c\). Периметр треугольника равен \((7 + 5 + c)\) см и по условию не превосходит 17 см. Все четыре условия должны выполняться одновременно, поэтому длина \(c\) является решением системы неравенств \[\begin{cases} c < 7 + 5, \\ 7 < 5 + c, \\ 5 < 7 + c, \\ 7 + 5 + c \leqslant 17. \end{cases}\] Первое неравенство системы даёт \(c < 12\), второе — \(c > 2\), третье — \(c > -2\), четвёртое — \(c \leqslant 5\). Каждое число, большее 2, больше и \(-2\), а каждое число, не большее 5, меньше 12. Поэтому множеством решений системы является пересечение лучей \((2; +\infty)\) и \((-\infty; 5]\), то есть полуинтервал \((2; 5]\).

Целые числа из полуинтервала \((2; 5]\) — это 3, 4 и 5. Длины сторон различны, а одна из сторон равна 5 см, поэтому \(c \ne 5\). Остаются значения \(c = 3\) и \(c = 4\).

Проверка: треугольник со сторонами 7 см, 5 см и 3 см существует, так как \(7 < 5 + 3\), \(5 < 7 + 3\) и \(3 < 7 + 5\), а его периметр равен \(7 + 5 + 3 = 15\) (см); треугольник со сторонами 7 см, 5 см и 4 см существует, так как \(7 < 5 + 4\), \(5 < 7 + 4\) и \(4 < 7 + 5\), а его периметр равен \(7 + 5 + 4 = 16\) (см). Оба периметра не больше 17 см.

Ответ: 3 см или 4 см.