Вопросы после параграфа §19 на странице 93, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Событие может и увеличить, и уменьшить вероятность другого события. Оба примера даёт один и тот же опыт — бросок игральной кости. В нём шесть равновозможных элементарных событий, поэтому вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{6}\).

Обозначим события: \(B\) «выпало нечётное число очков», \(A\) «выпало 3 очка», \(C\) «выпало 2 очка».

Событие \(B\) увеличивает вероятность события \(A\). Без всяких условий \(\mathrm{P}(A) = \frac{1}{6}\). Если же известно, что событие \(B\) наступило, опыт сузился до него: остались три равновозможных исхода 1, 3, 5, и событию \(A\) из них благоприятствует один. Поэтому \(\mathrm{P}(A \mid B) = \frac{1}{3}\), а это вдвое больше, чем \(\frac{1}{6}\).

Событие \(B\) уменьшает вероятность события \(C\). Вероятность \(\mathrm{P}(C) = \frac{1}{6}\), а среди оставшихся исходов 1, 3, 5 события \(C\) нет вовсе, поэтому \(\mathrm{P}(C \mid B) = 0\), и это меньше, чем \(\frac{1}{6}\).

Ответ: да, одно событие может и увеличить вероятность другого, и уменьшить её: при броске игральной кости условие «выпало нечётное число очков» увеличивает вероятность события «выпало 3 очка» с \(\frac{1}{6}\) до \(\frac{1}{3}\) и уменьшает вероятность события «выпало 2 очка» с \(\frac{1}{6}\) до 0.

Больше — может, меньше — не может.

Условная вероятность определена, когда \(\mathrm{P}(B) \neq 0\), и находится по формуле условной вероятности \(\mathrm{P}(A \mid B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}\). Вероятность любого события не превосходит 1, поэтому здесь \(0 < \mathrm{P}(B) \leqslant 1\). При делении на положительное число, не превосходящее 1, результат не уменьшается, значит, \[\mathrm{P}(A \mid B) \geqslant \mathrm{P}(A \cap B).\]

Меньше вероятности пересечения условная вероятность быть не может ни при каких событиях. Равенство получается лишь в двух случаях: когда \(\mathrm{P}(B) = 1\) и когда \(\mathrm{P}(A \cap B) = 0\); во всех остальных случаях \(\mathrm{P}(A \mid B) > \mathrm{P}(A \cap B)\).

Пример, где условная вероятность больше вероятности пересечения: игральную кость бросают один раз, \(B\) «выпало нечётное число очков», \(A\) «выпало 3 очка». Пересечению \(A \cap B\) благоприятствует один исход из шести, поэтому \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{6}\). При условии \(B\) в опыте остаются три равновозможных исхода 1, 3, 5, из которых событию \(A\) благоприятствует один, поэтому \(\mathrm{P}(A \mid B) = \frac{1}{3}\), и \(\frac{1}{3} > \frac{1}{6}\).

Ответ: больше вероятности пересечения условная вероятность быть может (при броске игральной кости \(\mathrm{P}(A \mid B) = \frac{1}{3}\), а \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{6}\)); меньше — не может, потому что \(\mathrm{P}(A \mid B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}\), а делитель \(\mathrm{P}(B)\) не больше 1.

Она равна 1. Как только событие \(B\) наступило, случайный опыт сузился до этого события: никаких элементарных событий, кроме принадлежащих \(B\), в опыте уже не осталось. Значит, в суженном опыте событию \(B\) благоприятствуют все элементарные события, и оно стало достоверным.

Тот же ответ даёт и формула условной вероятности. Пересечение события с самим собой есть само это событие: \(B \cap B = B\). Поэтому при \(\mathrm{P}(B) \neq 0\) \[\mathrm{P}(B \mid B) = \frac{\mathrm{P}(B \cap B)}{\mathrm{P}(B)} = \frac{\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(B)} = 1.\]

Ответ: \(\mathrm{P}(B \mid B) = 1\).