Страница 89 номер 164, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава III. Случайные эксперименты и случайные события. §18. Формула сложения вероятностей. Страница 89. Номер 164

Решение:

Исход благоприятствует событию \((A \cup B) \cup C\) тогда и только тогда, когда он благоприятствует событию \(C\) или хотя бы одному из событий \(A\), \(B\), значит, \(A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C\), и по формуле сложения вероятностей \[\mathrm{P}(A \cup B \cup C) = \mathrm{P}(A \cup B) + \mathrm{P}(C) - \mathrm{P}((A \cup B) \cap C).\]

Первое слагаемое раскрывается той же формулой: \(\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)\).

Исход благоприятствует событию \((A \cup B) \cap C\) тогда и только тогда, когда он благоприятствует событию \(C\) и хотя бы одному из событий \(A\), \(B\), а это то же самое, что благоприятствовать хотя бы одному из событий \(A \cap C\), \(B \cap C\): \[(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C).\]

Изобразим обе части этого равенства на диаграмме Эйлера.

график

К событиям \(A \cap C\) и \(B \cap C\) снова применима формула сложения вероятностей: \[\mathrm{P}((A \cup B) \cap C) = \mathrm{P}(A \cap C) + \mathrm{P}(B \cap C) - \mathrm{P}((A \cap C) \cap (B \cap C)).\]

Событию \((A \cap C) \cap (B \cap C)\) благоприятствуют те исходы, что благоприятствуют каждому из событий \(A\), \(B\), \(C\), поэтому \((A \cap C) \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C\) и \[\mathrm{P}((A \cup B) \cap C) = \mathrm{P}(A \cap C) + \mathrm{P}(B \cap C) - \mathrm{P}(A \cap B \cap C).\]

Подставим оба выражения в первое равенство: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(A \cup B \cup C) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) + {} \\ &+ \mathrm{P}(C) - (\mathrm{P}(A \cap C) + \mathrm{P}(B \cap C) - \mathrm{P}(A \cap B \cap C)). \end{aligned}\]

Раскрыв скобки, получаем формулу сложения вероятностей для трёх событий: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(A \cup B \cup C) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) + \mathrm{P}(C) - {} \\ &- \mathrm{P}(A \cap B) - \mathrm{P}(A \cap C) - \mathrm{P}(B \cap C) + {} \\ &+ \mathrm{P}(A \cap B \cap C). \end{aligned}\]

Ответ: формула доказана: \(\mathrm{P}(A \cup B \cup C) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) + \mathrm{P}(C) - \mathrm{P}(A \cap B) - \mathrm{P}(A \cap C) - \mathrm{P}(B \cap C) + \mathrm{P}(A \cap B \cap C)\).

Решение:

Пусть \(A\), \(B\) и \(C\) — произвольные события одного случайного эксперимента.

Объединению трёх событий благоприятствуют исходы, благоприятствующие хотя бы одному из них. Ровно те же исходы благоприятствуют объединению двух событий \(A \cup B\) и \(C\): исход благоприятствует событию \((A \cup B) \cup C\) тогда и только тогда, когда он благоприятствует событию \(C\) или хотя бы одному из событий \(A\), \(B\). Значит, \(A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C\), и к этому объединению двух событий применима формула сложения вероятностей: \[\mathrm{P}(A \cup B \cup C) = \mathrm{P}(A \cup B) + \mathrm{P}(C) - \mathrm{P}((A \cup B) \cap C).\]

Первое слагаемое раскрывается той же формулой: \(\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)\).

Последнее слагаемое — вероятность события \((A \cup B) \cap C\). Исход благоприятствует ему тогда и только тогда, когда он благоприятствует событию \(C\) и хотя бы одному из событий \(A\), \(B\), а это то же самое, что благоприятствовать хотя бы одному из событий \(A \cap C\), \(B \cap C\). Значит, два события совпадают: \[(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C).\]

Изобразим обе части этого равенства на диаграмме Эйлера.

график

Исход благоприятствует событию \((A \cap C) \cap (B \cap C)\) тогда и только тогда, когда он благоприятствует каждому из событий \(A\), \(B\), \(C\), поэтому \((A \cap C) \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C\) и \[\mathrm{P}((A \cup B) \cap C) = \mathrm{P}(A \cap C) + \mathrm{P}(B \cap C) - \mathrm{P}(A \cap B \cap C).\]

Подставим оба найденных выражения в первое равенство: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(A \cup B \cup C) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) + {} \\ &+ \mathrm{P}(C) - (\mathrm{P}(A \cap C) + \mathrm{P}(B \cap C) - \mathrm{P}(A \cap B \cap C)). \end{aligned}\]