Страница 93 номер 165, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
а) По данным пункта находится только \(\mathrm{P}(B)\); вероятность \(\mathrm{P}(A)\) ими не определяется.
По правилу умножения вероятностей \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A \mid B) \cdot \mathrm{P}(B)\), и \(\mathrm{P}(A \mid B)\) не равна нулю, откуда \[\mathrm{P}(B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A \mid B)} = \frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4.\]
События \(A \cap B\) и \(A \cap \overline{B}\) несовместны, а их объединение есть событие \(A\), поэтому \(\mathrm{P}(A) = 0{,}2 + \mathrm{P}(A \cap \overline{B})\). Про второе слагаемое известно только, что оно неотрицательно и не превосходит \(\mathrm{P}(\overline{B}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), ведь событие \(A \cap \overline{B}\) содержится в событии \(\overline{B}\). Значит, \(\mathrm{P}(A)\) может оказаться любым числом от \(0{,}2\) до \(0{,}8\).
б) \[\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A \mid B) \cdot \mathrm{P}(B) = \frac{2}{3} \cdot 0{,}3 = 0{,}2.\]
По тому же правилу \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(B \mid A) \cdot \mathrm{P}(A)\), откуда \[\mathrm{P}(A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B \mid A)} = 0{,}2 : \frac{1}{3} = 0{,}2 \cdot 3 = 0{,}6.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(B) = 0{,}4\); \(\mathrm{P}(A)\) по этим данным не определяется; б) \(\mathrm{P}(A) = 0{,}6\).
а) Данные этого пункта связывают вероятность пересечения \(\mathrm{P}(A \cap B)\) и условную вероятность \(\mathrm{P}(A \mid B)\) с вероятностью события \(B\): по ним однозначно находится \(\mathrm{P}(B)\), а вероятность \(\mathrm{P}(A)\) ими не определяется.
По правилу умножения вероятностей \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A \mid B) \cdot \mathrm{P}(B)\), и вероятность \(\mathrm{P}(A \mid B)\) не равна нулю, поэтому \[\mathrm{P}(B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A \mid B)} = \frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4.\]
Вероятность события \(A\) по этим данным найти нельзя. События \(A \cap B\) и \(A \cap \overline{B}\) несовместны, а их объединение есть событие \(A\), поэтому \(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(A \cap \overline{B}) = 0{,}2 + \mathrm{P}(A \cap \overline{B})\). Про второе слагаемое известно только, что оно неотрицательно и не превосходит \(\mathrm{P}(\overline{B}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), ведь событие \(A \cap \overline{B}\) содержится в событии \(\overline{B}\). Значит, вероятность \(\mathrm{P}(A)\) может оказаться любым числом от \(0{,}2\) до \(0{,}8\).
б) По правилу умножения вероятностей \[\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A \mid B) \cdot \mathrm{P}(B) = \frac{2}{3} \cdot 0{,}3 = 0{,}2.\]
То же правило связывает вероятность этого пересечения со второй условной вероятностью: \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(B \mid A) \cdot \mathrm{P}(A)\). Отсюда \[\mathrm{P}(A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B \mid A)} = 0{,}2 : \frac{1}{3} = 0{,}2 \cdot 3 = 0{,}6.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(B) = 0{,}4\); \(\mathrm{P}(A)\) по этим данным не определяется; б) \(\mathrm{P}(A) = 0{,}6\).
