Вопросы после параграфа §18 на странице 88, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Для любых двух событий \(A\) и \(B\) верна формула сложения вероятностей \[\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B).\]

Вероятность любого события неотрицательна, поэтому \(\mathrm{P}(A \cap B) \geqslant 0\): из суммы вероятностей вычитается число, которое меньше нуля быть не может. Значит, вероятность объединения больше суммы вероятностей не бывает никогда.

Меньше суммы она бывает всякий раз, когда вероятность пересечения отлична от нуля. Бросают игральную кость, все шесть исходов равновозможны. Событие \(A\) «выпало чётное число очков» — это \(\{2,\ 4,\ 6\}\), событие \(B\) «выпало больше трёх очков» — это \(\{4,\ 5,\ 6\}\), поэтому \(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Пересечение \(A \cap B = \{4,\ 6\}\) имеет вероятность \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), а объединение \(A \cup B = \{2,\ 4,\ 5,\ 6\}\) — вероятность \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Сумма вероятностей этих событий равна \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\), и вероятность объединения меньше: \(\frac{2}{3} < 1\).

У несовместных событий пересечение — невозможное событие, его вероятность равна нулю, и вероятность объединения равна в точности сумме вероятностей.

Ответ: больше суммы вероятностей — не может ни в каком случае; меньше суммы — может, и это происходит всегда, когда вероятность пересечения событий отлична от нуля.

Нет, не во всех. Бросают игральную кость, все шесть исходов равновозможны. Событие \(A\) «выпало 2 очка» — это \(\{2\}\), событие \(B\) «выпало чётное число очков» — это \(\{2,\ 4,\ 6\}\). Каждый исход, благоприятствующий событию \(A\), благоприятствует и событию \(B\), то есть \(A \subset B\), поэтому \(A \cap B = \{2\}\) — это само событие \(A\). Тогда \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{6} = \mathrm{P}(A)\): вероятность пересечения не меньше вероятности события \(A\), а равна ей.

Так получается всякий раз, когда одно из двух событий входит в другое: пересечение совпадает с этим событием. Истинным утверждение становится, если слово «меньше» заменить словами «не больше».

Ответ: нет, не во всех: если одно из событий входит в другое, то пересечение совпадает с этим событием и вероятность пересечения равна его вероятности.

Да, во всех. Каждый исход, благоприятствующий событию \(A\), либо благоприятствует событию \(B\), либо не благоприятствует ему. Поэтому событие \(A\) — объединение двух несовместных событий \(A \cap B\) и \(A \cap \overline{B}\), и по формуле сложения вероятностей для несовместных событий \(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(A \cap \overline{B})\). Вероятность неотрицательна, значит, \(\mathrm{P}(A \cap B) \leqslant \mathrm{P}(A)\).

Точно так же событие \(B\) — объединение несовместных событий \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\), откуда \(\mathrm{P}(A \cap B) \leqslant \mathrm{P}(B)\). Вероятность пересечения не больше ни одной из двух вероятностей, а значит, не больше и наименьшей из них.

Ответ: да, во всех случаях: \(\mathrm{P}(A \cap B) \leqslant \mathrm{P}(A)\) и \(\mathrm{P}(A \cap B) \leqslant \mathrm{P}(B)\), поэтому вероятность пересечения не больше наименьшей из вероятностей этих событий.

Для любых двух событий \(A\) и \(B\) вероятность объединения находится по формуле сложения вероятностей \[\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B).\]

Если события \(A\) и \(B\) несовместны, то есть \(A \cap B = \varnothing\), то вероятность пересечения равна нулю и формула принимает более простой вид: \[\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B).\]

Вторая формула верна не только для двух, но и для любого количества попарно несовместных событий: вероятность объединения таких событий равна сумме их вероятностей.

Ответ: для двух произвольных событий \(\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)\); для двух несовместных событий \(\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)\).