Вопросы после параграфа §17 на странице 84, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Объединением случайных событий \(A\) и \(B\) называется событие \(A \cup B\), состоящее из всех тех элементарных событий, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий \(A\) и \(B\).

Кубик бросают один раз, \(S = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\). Возьмём события \(A\) «выпало чётное число очков» \(= \{2,\ 4,\ 6\}\) и \(B\) «выпало больше 4 очков» \(= \{5,\ 6\}\). Тогда \(A \cup B = \{2,\ 4,\ 5,\ 6\}\): в объединение попал и исход 5, благоприятствующий только событию \(B\), и исход 6, благоприятствующий обоим событиям сразу.

Ответ: объединением событий \(A\) и \(B\) называется событие \(A \cup B\), состоящее из всех элементарных событий, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий \(A\) и \(B\).

Пересечением случайных событий \(A\) и \(B\) называется событие \(A \cap B\), состоящее из всех тех элементарных событий, которые благоприятствуют обоим событиям \(A\) и \(B\).

Для тех же событий \(A = \{2,\ 4,\ 6\}\) и \(B = \{5,\ 6\}\) при одном броске кубика пересечение \(A \cap B = \{6\}\): из шести исходов только исход 6 благоприятствует и событию \(A\), и событию \(B\). Исход 4 в пересечение не входит: он благоприятствует лишь событию \(A\).

Ответ: пересечением событий \(A\) и \(B\) называется событие \(A \cap B\), состоящее из всех элементарных событий, которые благоприятствуют обоим событиям \(A\) и \(B\).

Первое утверждение ложно. Кубик бросают один раз, \(S = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\); возьмём события \(A = \{1\}\) «выпало одно очко» и \(B = \{2\}\) «выпало два очка». Общих элементарных событий у них нет, то есть \(A \cap B = \varnothing\), — события несовместны. Но событие, противоположное событию \(A\), состоит из всех исходов, не принадлежащих событию \(A\): \(\overline{A} = \{2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\), а это не событие \(B\). Значит, несовместные события противоположными быть не обязаны.

Второе утверждение истинно. Событие \(\overline{A}\) состоит из тех и только тех элементарных событий, которые не принадлежат событию \(A\). Поэтому нет ни одного элементарного события, которое принадлежало бы сразу и событию \(A\), и событию \(\overline{A}\), то есть \(A \cap \overline{A} = \varnothing\). По определению это и означает, что события \(A\) и \(\overline{A}\) несовместны.

Ответ: истинно только второе утверждение — два противоположных события несовместны; утверждение «два несовместных события противоположны» ложно.

Достоверное событие — это всё множество элементарных событий \(S\). Противоположное ему событие \(\overline{S}\) состоит из всех элементарных событий, не принадлежащих множеству \(S\), а таких элементарных событий в опыте нет вовсе: множество \(S\) содержит их все. Значит, событию \(\overline{S}\) не благоприятствует ни один исход, то есть \(\overline{S} = \varnothing\).

Ответ: противоположным достоверному событию \(S\) является невозможное (пустое) событие \(\varnothing\).