Вопросы после параграфа §16 на странице 80, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Вероятность события — сумма вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий, а вероятности разных исходов одного опыта могут быть разными: неизвестно, как вероятность распределена между двадцатью исходами.
Пусть, например, каждый из четырёх благоприятствующих исходов имеет вероятность \(0{,}01\), а каждый из остальных шестнадцати — \(0{,}06\): сумма \(4 \cdot 0{,}01 + 16 \cdot 0{,}06 = 0{,}04 + 0{,}96 = 1\), а \(\mathrm{P}(A) = 4 \cdot 0{,}01 = 0{,}04\), а вовсе не \(0{,}2\).
Число \(\frac{4}{20} = 0{,}2\) получается, когда все 20 элементарных событий равновозможны: вероятность каждого равна \(\frac{1}{20} = 0{,}05\) и \(\mathrm{P}(A) = 4 \cdot 0{,}05 = 0{,}2\).
Ответ: вероятность события — это сумма вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий, а они могут быть разными (при вероятностях \(0{,}01\) у благоприятствующих исходов получается \(\mathrm{P}(A) = 0{,}04\)); равенство \(\mathrm{P}(A) = 0{,}2\) становится верным при дополнительном условии: все 20 элементарных событий равновозможны.
Теорема. Пусть в случайном эксперименте \(n\) равновозможных элементарных событий и событию \(A\) благоприятствует \(n(A)\) из них. Тогда \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{n(A)}{n}\).
Равновозможность существенна: из неё следует, что вероятность каждого элементарного события равна \(\dfrac{1}{n}\), а вероятность события \(A\) складывается из \(n(A)\) таких слагаемых.
Например, при броске правильного кубика \(n = 6\), событию \(A\) «выпало чётное число очков» благоприятствуют исходы \(2;\ 4;\ 6\), и \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
Ответ: если в случайном эксперименте \(n\) равновозможных элементарных событий и событию \(A\) благоприятствует \(n(A)\) из них, то \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{n(A)}{n}\).
Все \(n\) исходов равновозможны, а сумма их вероятностей равна 1, поэтому вероятность каждого равна \(\dfrac{1}{n}\), и \(\dfrac{1}{n} = 0{,}02\), откуда \(n = 1 : 0{,}02 = 50\).
Проверка: \(50 \cdot 0{,}02 = 1\).
Ответ: 50 элементарных событий.
Вероятность события равна сумме вероятностей тех элементарных событий, которые ему благоприятствуют, а вероятности разных элементарных событий одного и того же опыта могут быть разными. Одного только числа исходов и числа благоприятствующих исходов для вычисления вероятности не хватает: неизвестно, как вероятность распределена между двадцатью элементарными событиями.
Пусть, например, каждое из четырёх благоприятствующих событию \(A\) элементарных событий имеет вероятность \(0{,}01\), а каждое из остальных шестнадцати — вероятность \(0{,}06\). Такой набор возможен: сумма вероятностей всех исходов равна \(4 \cdot 0{,}01 + 16 \cdot 0{,}06 = 0{,}04 + 0{,}96 = 1\). При этом \(\mathrm{P}(A) = 4 \cdot 0{,}01 = 0{,}04\), а вовсе не \(0{,}2\).
Число \(\frac{4}{20} = 0{,}2\) получается тогда, когда все 20 элементарных событий равновозможны. Вероятности исходов при этом равны между собой, а их сумма равна 1, поэтому вероятность каждого исхода равна \(\frac{1}{20} = 0{,}05\), и событию \(A\) отвечает вероятность \(\mathrm{P}(A) = 4 \cdot 0{,}05 = 0{,}2\).
Ответ: вероятность события — это сумма вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий, а они могут быть разными (при вероятностях \(0{,}01\) у благоприятствующих исходов получается \(\mathrm{P}(A) = 0{,}04\)); равенство \(\mathrm{P}(A) = 0{,}2\) становится верным при дополнительном условии: все 20 элементарных событий равновозможны.
Теорема. Пусть в случайном эксперименте \(n\) равновозможных элементарных событий, и пусть событию \(A\) благоприятствует \(n(A)\) из них. Тогда вероятность события \(A\) равна \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{n(A)}{n}\).
Равновозможность здесь существенна: именно из неё следует, что вероятность каждого элементарного события равна \(\dfrac{1}{n}\), а вероятность события \(A\) складывается из \(n(A)\) таких слагаемых.
Например, при одном броске правильного игрального кубика все \(n = 6\) элементарных событий равновозможны, и событию \(A\) «выпало чётное число очков» благоприятствуют три исхода: \(2;\ 4;\ 6\). Поэтому \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
Ответ: если в случайном эксперименте \(n\) равновозможных элементарных событий и событию \(A\) благоприятствует \(n(A)\) из них, то \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{n(A)}{n}\).
Пусть в эксперименте \(n\) элементарных событий. Они равновозможны, поэтому вероятности всех исходов равны между собой, а сумма вероятностей всех исходов равна 1. Значит, вероятность каждого исхода равна \(\dfrac{1}{n}\), и по условию \(\dfrac{1}{n} = 0{,}02\), откуда \(n = 1 : 0{,}02 = 50\).
Проверка: \(50 \cdot 0{,}02 = 1\) — сумма вероятностей всех пятидесяти исходов равна 1.
Ответ: 50 элементарных событий.
