Страница 78 номер 133, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава III. Случайные эксперименты и случайные события. §15. Случайный эксперимент, случайные события и вероятности. Страница 78. Номер 133

Решение:

Каждую партию выигрывает один из игроков; запишем ход матча последовательностью букв: А — партию выиграл Андрей, С — партию выиграл Сергей. Матч прекращается сразу после третьей победы одного из игроков, поэтому последняя буква исхода — третья победа победителя матча.

а) Меньше трёх партий сыграть нельзя: победителю нужны три победы; три партии возможны — матч ААА.

Больше пяти партий не бывает: если после четырёх партий матч не окончен, то у каждого игрока ровно по две победы, и пятая партия даёт одному из них третью. Пять партий возможны — например, матч ААССС.

Наименьшее число партий равно 3, наибольшее равно 5.

б) В исходе с победой Андрея последняя буква — А, среди предыдущих ровно две буквы А, а остальные буквы — С.

- Три партии: исход ААА.
- Четыре партии: до последней буквы две буквы А и одна С, место буквы С выбирается тремя способами — СААА, АСАА, ААСА.
- Пять партий: до последней буквы две буквы А и две С, две буквы С занимают два места из четырёх, а таких пар мест \(\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6\) — ССААА, САСАА, СААСА, АССАА, АСАСА, ААССА.

Победу Андрея дают \(1 + 3 + 6 = 10\) исходов. Исходы с победой Сергея получаются из них заменой каждой буквы А на С и каждой буквы С на А, поэтому их тоже 10: ССС; АССС, САСС, ССАС; ААССС, АСАСС, АССАС, СААСС, САСАС, ССААС.

Всего \(10 + 10 = 20\) элементарных событий.

в) Событию «победителем станет Андрей» благоприятствуют 10 исходов: ААА, СААА, АСАА, ААСА, ССААА, САСАА, СААСА, АССАА, АСАСА, ААССА.

Ответ: а) наименьшее число партий — 3, наибольшее — 5; б) 20 исходов: ААА, СААА, АСАА, ААСА, ССААА, САСАА, СААСА, АССАА, АСАСА, ААССА, ССС, АССС, САСС, ССАС, ААССС, АСАСС, АССАС, СААСС, САСАС, ССААС; в) событию «победителем станет Андрей» благоприятствуют 10 исходов.

Решение:

Партия не может закончиться вничью, поэтому каждую партию выигрывает один из игроков. Запишем ход матча последовательностью букв: А — партию выиграл Андрей, С — партию выиграл Сергей. Матч прекращается сразу после третьей победы одного из игроков, поэтому элементарное событие — последовательность результатов партий, последняя буква которой и есть третья победа победителя матча.

а) Меньше трёх партий сыграть нельзя: победителю нужны три победы. Три партии возможны — это матч ААА.

Больше пяти партий не бывает. Если после четырёх партий матч не окончен, то трёх побед нет ни у кого, значит, у каждого игрока ровно по две победы, и пятая партия даёт одному из них третью победу. Поэтому шестой партии не будет, а пять партий возможны — например, матч ААССС.

Значит, наименьшее число партий равно 3, наибольшее равно 5.

б) Последнюю партию выигрывает победитель матча, и эта победа у него третья. Поэтому исход, в котором побеждает Андрей, устроен так: последняя буква — А, среди предыдущих букв ровно две буквы А, а остальные буквы — С. Разберём такие исходы по числу партий.

- Три партии: до последней буквы стоят две буквы А, букв С нет — исход ААА.
- Четыре партии: до последней буквы стоят три буквы, из них две А и одна С; место буквы С выбирается тремя способами — исходы СААА, АСАА, ААСА.
- Пять партий: до последней буквы стоят четыре буквы, из них две А и две С; две буквы С занимают два места из четырёх, а каждое из четырёх мест образует пару с каждым из трёх остальных, и при таком счёте каждая пара мест получается дважды, поэтому таких пар \(\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6\) — исходы ССААА, САСАА, СААСА, АССАА, АСАСА, ААССА.

Всего в этом эксперименте \(10 + 10 = 20\) элементарных событий.

в) Событию «победителем станет Андрей» благоприятствуют те исходы, которые оканчиваются третьей победой Андрея, — их 10: ААА, СААА, АСАА, ААСА, ССААА, САСАА, СААСА, АССАА, АСАСА, ААССА.