Страница 80 номер 134, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Элементарное событие — пара чисел (первый бросок; второй бросок). Кубик правильный, поэтому все \(n = 6 \cdot 6 = 36\) пар равновозможны.
а) Событию \(A\) благоприятствуют пары, в которых оба числа не меньше 3: при каждом броске подходят \(3;\ 4;\ 5;\ 6\), поэтому \(n(A) = 4 \cdot 4 = 16\) и \[\mathrm{P}(A) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444.\]
б) Из сумм от 2 до 12 на 4 делятся \(4;\ 8;\ 12\). Событию \(B\) благоприятствуют пары:
сумма 4 — \((1;\ 3)\), \((2;\ 2)\), \((3;\ 1)\), всего 3 пары;
сумма 8 — \((2;\ 6)\), \((3;\ 5)\), \((4;\ 4)\), \((5;\ 3)\), \((6;\ 2)\), всего 5 пар;
сумма 12 — \((6;\ 6)\), всего 1 пара.
Значит, \(n(B) = 3 + 5 + 1 = 9\) и \[\mathrm{P}(B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0{,}25.\]
в) Сосчитаем пары события \(C\) по первому броску: при 1 таких пар нет, при 2 — одна пара \((2;\ 1)\), при 3 — две, при 4 — три, при 5 — четыре, при 6 — пять, поэтому \(n(C) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\). Проверка: одинаковые числа выпадают в 6 парах, а остальные \(36 - 6 = 30\) пар разбиваются поровну на те, где первое число больше, и те, где меньше, — по \(30 : 2 = 15\) пар. Поэтому \[\mathrm{P}(C) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417.\]
г) Произведение не меньше 16 у пар: при первом броске, равном 1 или 2, таких нет; при 3 — \((3;\ 6)\), 1 пара; при 4 — \((4;\ 4)\), \((4;\ 5)\), \((4;\ 6)\), 3 пары; при 5 — \((5;\ 4)\), \((5;\ 5)\), \((5;\ 6)\), 3 пары; при 6 — \((6;\ 3)\), \((6;\ 4)\), \((6;\ 5)\), \((6;\ 6)\), 4 пары. Всего \(1 + 3 + 3 + 4 = 11\) пар, поэтому \(n(D) = 36 - 11 = 25\) и \[\mathrm{P}(D) = \frac{25}{36} \approx 0{,}694.\]
Ответ: а) \(\dfrac{4}{9} \approx 0{,}444\); б) \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\); в) \(\dfrac{5}{12} \approx 0{,}417\); г) \(\dfrac{25}{36} \approx 0{,}694\).
Элементарное событие этого опыта — пара чисел (первый бросок; второй бросок). При каждом броске выпадает одно из шести чисел, поэтому всего элементарных событий \(n = 6 \cdot 6 = 36\). Кубик правильный, ни одна его грань не имеет преимущества перед другими, поэтому все 36 пар равновозможны.
а) Событию \(A\) «каждый раз выпадало не менее 3 очков» благоприятствуют пары, в которых оба числа не меньше 3. При первом броске подходят четыре значения — \(3;\ 4;\ 5;\ 6\), и при втором броске тоже четыре, поэтому \(n(A) = 4 \cdot 4 = 16\) — число благоприятствующих исходов. Значит, \[\mathrm{P}(A) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444.\]
б) Сумма очков при двух бросках принимает значения от 2 до 12, из них на 4 делятся числа \(4;\ 8;\ 12\). Событию \(B\) «сумма очков на обеих костях делится на 4» благоприятствуют пары:
сумма 4 — \((1;\ 3)\), \((2;\ 2)\), \((3;\ 1)\), всего 3 пары;
сумма 8 — \((2;\ 6)\), \((3;\ 5)\), \((4;\ 4)\), \((5;\ 3)\), \((6;\ 2)\), всего 5 пар;
сумма 12 — \((6;\ 6)\), всего 1 пара.
Значит, \(n(B) = 3 + 5 + 1 = 9\) и \[\mathrm{P}(B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0{,}25.\]
в) Сосчитаем пары, благоприятствующие событию \(C\) «в первый раз выпало больше, чем во второй», по первому броску: при первом броске, равном 1, таких пар нет; при 2 — одна пара \((2;\ 1)\); при 3 — две; при 4 — три; при 5 — четыре; при 6 — пять. Значит, \(n(C) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\). Проверка: одинаковые числа выпадают в 6 парах, а остальные \(36 - 6 = 30\) пар разбиваются поровну на те, где первое число больше, и те, где оно меньше, — по \(30 : 2 = 15\) пар. Поэтому \[\mathrm{P}(C) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417.\]
г) Событию \(D\) «произведение очков меньше 16» благоприятствуют все пары, кроме тех, в которых произведение не меньше 16. Таких пар немного, и их проще перечислить:
при первом броске, равном 1 или 2, произведение не больше 12 — подходящих пар нет;
при 3 — \((3;\ 6)\), всего 1 пара;
при 4 — \((4;\ 4)\), \((4;\ 5)\), \((4;\ 6)\), всего 3 пары;
при 5 — \((5;\ 4)\), \((5;\ 5)\), \((5;\ 6)\), всего 3 пары;
при 6 — \((6;\ 3)\), \((6;\ 4)\), \((6;\ 5)\), \((6;\ 6)\), всего 4 пары.
Произведение не меньше 16 у \(1 + 3 + 3 + 4 = 11\) пар, значит, у остальных \(36 - 11 = 25\) пар произведение меньше 16. Поэтому \(n(D) = 25\) и \[\mathrm{P}(D) = \frac{25}{36} \approx 0{,}694.\]
Ответ: а) \(\dfrac{4}{9} \approx 0{,}444\); б) \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\); в) \(\dfrac{5}{12} \approx 0{,}417\); г) \(\dfrac{25}{36} \approx 0{,}694\).
