Вопросы после параграфа §15 на странице 77, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Пример: монету бросают два раза и записывают выпавшие стороны по порядку (О — орёл, Р — решка).

Элементарное событие в этом опыте — последовательность из двух букв, и таких последовательностей четыре: \[S = \{\text{ОО},\ \text{ОР},\ \text{РО},\ \text{РР}\}.\]

Все исходы можно пронумеровать натуральными числами: \(s_1 = \text{ОО}\), \(s_2 = \text{ОР}\), \(s_3 = \text{РО}\), \(s_4 = \text{РР}\). Поэтому опыт дискретный.

Вероятности элементарных событий назначаются так, чтобы их сумма была равна 1. Возьмём \[p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 0{,}25.\]

Сумма этих чисел равна \(0{,}25 \cdot 4 = 1\), значит, вероятности назначены правильно, и множество \(S\) вместе с набором \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), \(p_4\) образует дискретный случайный эксперимент.

Вероятность любого события в нём — сумма вероятностей благоприятствующих ему исходов. Например, событию \(A\) «выпали разные стороны» благоприятствуют два исхода, \(A = \{\text{ОР},\ \text{РО}\}\), и \(\mathrm{P}(A) = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\).

Ответ: например, двукратное бросание монеты, в котором \(S = \{\text{ОО},\ \text{ОР},\ \text{РО},\ \text{РР}\}\), а вероятность каждого из четырёх исходов равна \(0{,}25\).

Во всех трёх подвопросах речь об элементарных событиях. Ответ на каждый из них даёт одно свойство случайного опыта: из всего множества элементарных событий осуществляется одно и только одно, а какое именно — дело случая.

Не произойти ни одного элементарного события не может: если опыт проведён, какой-то его исход обязательно наступил. При бросании игрального кубика с множеством исходов \(S = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\) событие «не выпала ни одна грань» — это пустое множество \(\varnothing\), то есть невозможное событие.

Ровно одно элементарное событие происходит всегда, и это и есть результат опыта: кубик ложится вверх одной гранью, и выпадает ровно одно число очков.

Два элементарных события сразу произойти не могут: разные исходы исключают друг друга. Кубик не может показать одновременно и 2, и 5.

Ответ: ни одного элементарного события не произойти не может; ровно одно элементарное событие происходит в каждом опыте всегда; ровно двух элементарных событий произойти не может.

Практически достоверное событие — это событие, противоположное маловероятному, то есть такое, на наступление которого можно полагаться.

Пример: монету бросают 20 раз подряд, событие \(B\) «хотя бы один раз выпадет орёл».

Элементарное событие здесь — последовательность из двадцати букв О и Р. Каждый новый бросок удваивает число таких последовательностей, а после одного броска их две, поэтому всего исходов \(2^{20} = 1\,048\,576\). Назначим каждому из них одну и ту же вероятность \(\dfrac{1}{1\,048\,576}\) — сумма всех этих чисел равна 1.

Событию \(B\) не благоприятствует единственный исход: двадцать решок подряд. Значит, событию \(B\) благоприятствуют \(1\,048\,576 - 1 = 1\,048\,575\) исходов, и его вероятность — сумма их вероятностей: \(\mathrm{P}(B) = \dfrac{1\,048\,575}{1\,048\,576}\), то есть больше \(0{,}999\).

Противоположное событие «все двадцать раз выпадет решка» имеет вероятность \(\dfrac{1}{1\,048\,576}\), а это меньше \(\dfrac{1}{10\,000}\) — событие очень редкое, маловероятное. По принципу практической невозможности в однократном опыте к нему следует относиться как к невозможному, а событие \(B\) поэтому практически достоверно.

Ответ: например, при двадцати бросаниях монеты событие «хотя бы один раз выпадет орёл»: его вероятность \(\dfrac{1\,048\,575}{1\,048\,576}\) больше \(0{,}999\), а противоположное ему событие «все двадцать раз выпадет решка» маловероятно.