Страница 70 номер 124, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Сопоставим каждой цифре от 1 до 9 вершину. Ребро ведёт из вершины \(x\) в вершину \(y\), если двузначное число, у которого первая цифра \(x\), а вторая \(y\), делится на 7 или на 13. Такое ребро будем записывать \(x \to y\). Тогда искомый ряд цифр — это ориентированная цепь, проходящая через все девять вершин: соседние цифры ряда дают ребро графа, а цепь не повторяет вершин, то есть каждая цифра встречается один раз.

Выпишем подходящие двузначные числа. Обе цифры в них отличны от нуля и различны.

Кратные 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 84, 91, 98 (числа 70 и 77 не годятся: в первом есть ноль, во втором цифры одинаковы).

Кратные 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91.

Число 91 попало в оба списка, поэтому разных чисел \(11 + 7 - 1 = 17\), и рёбер в графе тоже 17:

- из 1: \(1 \to 3\), \(1 \to 4\);
- из 2: \(2 \to 1\), \(2 \to 6\), \(2 \to 8\);
- из 3: \(3 \to 5\), \(3 \to 9\);
- из 4: \(4 \to 2\), \(4 \to 9\);
- из 5: \(5 \to 2\), \(5 \to 6\);
- из 6: \(6 \to 3\), \(6 \to 5\);
- из 7: \(7 \to 8\);
- из 8: \(8 \to 4\);
- из 9: \(9 \to 1\), \(9 \to 8\).

Ни одно из выписанных чисел не оканчивается семёркой, поэтому в вершину 7 не входит ни одно ребро. Значит, вершина 7 не может стоять в цепи после какой-нибудь другой вершины, и цепь начинается с семёрки.

Дальше выбора почти нет: из 7 выходит единственное ребро \(7 \to 8\), а из 8 — единственное ребро \(8 \to 4\). Начало цепи: 7, 8, 4.

Из вершины 4 выходят два ребра, разберём оба.

Случай \(4 \to 2\). Из 2 рёбра ведут в 1, 6 и 8, но вершина 8 уже пройдена.
Если взять \(2 \to 1\), то из 1 остаётся только \(1 \to 3\) (вершина 4 пройдена), а из 3 рёбра ведут в 5 и в 9. При переходе в 5 остаётся только \(5 \to 6\), а из 6 обе стрелки ведут в пройденные вершины 3 и 5, и вершина 9 остаётся непройденной. При переходе в 9 обе стрелки из 9 ведут в пройденные вершины 1 и 8, а вершины 5 и 6 остаются непройденными.
Если взять \(2 \to 6\), то из 6 рёбра ведут в 3 и в 5. При переходе в 5 обе стрелки из 5 ведут в пройденные вершины 2 и 6. При переходе в 3 остаётся выбор между 5 и 9: из 5 стрелки ведут в пройденные 2 и 6, а после \(3 \to 9\) и \(9 \to 1\) из вершины 1 обе стрелки ведут в пройденные 3 и 4, и вершина 5 остаётся непройденной.
Значит, в этом случае цепи через все девять вершин нет.

Случай \(4 \to 9\). Из 9 остаётся только \(9 \to 1\) (вершина 8 пройдена), из 1 — только \(1 \to 3\) (вершина 4 пройдена), из 3 — только \(3 \to 5\) (вершина 9 пройдена). Из 5 рёбра ведут в 2 и в 6. Если взять \(5 \to 6\), то из 6 обе стрелки ведут в пройденные вершины 3 и 5, а вершина 2 остаётся непройденной. Остаётся \(5 \to 2\), и тогда из 2 ведут рёбра в 1, 6 и 8, из которых свободна только вершина 6.

Получилась цепь 7, 8, 4, 9, 1, 3, 5, 2, 6, проходящая через все девять вершин. Нарисуем граф, выделив эту цепь.

Ей отвечает ряд цифр 784913526.

Проверка: \(78 = 13 \cdot 6\), \(84 = 7 \cdot 12\), \(49 = 7 \cdot 7\), \(91 = 13 \cdot 7\), \(13 = 13 \cdot 1\), \(35 = 7 \cdot 5\), \(52 = 13 \cdot 4\), \(26 = 13 \cdot 2\) — все восемь двузначных чисел, составленных из соседних цифр, делятся на 7 или на 13.

Ответ: 784913526.