Вопросы после параграфа §49 на странице 232, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Плотность равномерного распределения на отрезке \([a;\ b]\) постоянна: во всех точках отрезка она равна \(\frac{1}{b-a}\), а вне его равна нулю.
Вероятность попасть в часть отрезка равна площади прямоугольника над этой частью, то есть её длине, умноженной на постоянную высоту \(\frac{1}{b-a}\): вероятность зависит только от длины части, а не от её расположения.
Например, на отрезке \([0;\ 2]\) плотность равна \(\frac{1}{2-0} = 0{,}5\), и любой кусок длиной \(0{,}5\) имеет вероятность \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\), где бы внутри отрезка он ни лежал.
Ответ: Потому что вероятность распределена по отрезку равномерно: плотность постоянна, и вероятность части отрезка зависит только от её длины, а не от расположения.
Если случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([a;\ b]\), то \[\mathrm{E}X = \frac{a+b}{2} \text{ и } \mathrm{D}X = \frac{(b-a)^2}{12}.\]
Математическое ожидание — середина отрезка: график плотности симметричен относительно неё.
Например, на отрезке \([1;\ 4]\) получаем \(\mathrm{E}X = \frac{1+4}{2} = 2{,}5\) и \(\mathrm{D}X = \frac{(4-1)^2}{12} = 0{,}75\).
Ответ: \(\mathrm{E}X = \frac{a+b}{2}\) — середина отрезка, \(\mathrm{D}X = \frac{(b-a)^2}{12}\).
Нет. На каждом из трёх промежутков — левее точки \(a\), внутри отрезка \([a;\ b]\) и правее точки \(b\) — плотность постоянна, но в самих точках \(a\) и \(b\) её значение меняется скачком с нуля на \(\frac{1}{b-a}\): это две точки разрыва.
Например, у величины, равномерно распределённой на отрезке \([0;\ 2]\), плотность равна нулю при \(x < 0\) и равна \(0{,}5\) при \(0 \leqslant x \leqslant 2\): в точке \(x = 0\) значение прыгает с 0 на \(0{,}5\), то же в точке \(x = 2\).
На вероятности скачки не влияют: вероятность отдельного значения у непрерывной случайной величины равна нулю.
Ответ: Нет: в точках \(a\) и \(b\) значение плотности меняется скачком с нуля на \(\frac{1}{b-a}\), это две точки разрыва.
Функция плотности равномерного распределения на отрезке \([a;\ b]\) постоянна: она равна \(\frac{1}{b-a}\) во всех точках этого отрезка и равна нулю вне его.
Вероятность попасть в какую-нибудь часть отрезка равна площади прямоугольника, построенного над этой частью, то есть произведению её длины на постоянную высоту \(\frac{1}{b-a}\). Значит, вероятность зависит только от длины части и совсем не зависит от того, где эта часть расположена: равным по длине кускам отвечают равные вероятности. Вероятность распределена по отрезку ровно, без сгущений — отсюда и название.
Например, если величина равномерно распределена на отрезке \([0;\ 2]\), то плотность равна \(\frac{1}{2-0} = 0{,}5\). Обе половины отрезка, \([0;\ 1]\) и \([1;\ 2]\), имеют вероятность \(1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\), а любой кусок длиной \(0{,}5\) — вероятность \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\), где бы внутри отрезка он ни лежал.
Ответ: Потому что вероятность распределена по отрезку равномерно: плотность постоянна, и вероятность части отрезка зависит только от её длины, а не от расположения.
Если случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([a;\ b]\), то \[\mathrm{E}X = \frac{a+b}{2} \text{ и } \mathrm{D}X = \frac{(b-a)^2}{12}.\]
Математическое ожидание равно середине отрезка, и это видно из симметрии: график плотности — прямоугольник, симметричный относительно середины отрезка \([a;\ b]\), поэтому середина и есть математическое ожидание.
Например, для величины, равномерно распределённой на отрезке \([1;\ 4]\), получаем \(\mathrm{E}X = \frac{1+4}{2} = 2{,}5\) и \(\mathrm{D}X = \frac{(4-1)^2}{12} = 0{,}75\), а стандартное отклонение равно \(\sqrt{\mathrm{D}X} \approx 0{,}866\).
Ответ: \(\mathrm{E}X = \frac{a+b}{2}\) — середина отрезка, \(\mathrm{D}X = \frac{(b-a)^2}{12}\).
Нет, не является. На каждом из трёх промежутков — левее точки \(a\), внутри отрезка \([a;\ b]\) и правее точки \(b\) — плотность постоянна и потому непрерывна. Но в самих точках \(a\) и \(b\) её значение меняется скачком: слева от точки \(a\) плотность равна нулю, а на отрезке равна \(\frac{1}{b-a}\). Это две точки разрыва.
Например, у величины, равномерно распределённой на отрезке \([0;\ 2]\), плотность равна нулю при \(x < 0\) и равна \(0{,}5\) при \(0 \leqslant x \leqslant 2\): в точке \(x = 0\) значение прыгает с 0 на \(0{,}5\). То же самое происходит в точке \(x = 2\).
На вероятности эти скачки не влияют: вероятность отдельного значения у непрерывной случайной величины равна нулю, и площадь под графиком от разрывов не меняется.
Ответ: Нет: в точках \(a\) и \(b\) значение плотности меняется скачком с нуля на \(\frac{1}{b-a}\), это две точки разрыва.
