Страница 230 номер 472, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
В круге единичного радиуса выбирают случайную точку. Постройте график функции плотности распределения случайной величины \(R\) «расстояние от выбранной точки до центра круга».
\(R\) — «расстояние от выбранной точки до центра круга», радиус круга равен 1. Расстояние от точки круга до центра не больше радиуса и не меньше нуля, поэтому значения \(R\) заполняют отрезок \([0;\ 1]\), а вне этого отрезка плотность равна нулю.
Точка выбирается в круге наудачу, поэтому вероятность попасть в часть круга пропорциональна площади этой части. Событие \(R \leqslant r\) при \(r\) из отрезка \([0;\ 1]\) означает, что точка попала в круг радиуса \(r\) с тем же центром; площадь этого круга равна \(\pi r^2\), площадь всего круга равна \(\pi \cdot 1^2\): \[\mathrm{P}(R \leqslant r) = \frac{\pi r^2}{\pi \cdot 1^2} = r^2.\]
Вероятность промежутка равна площади фигуры под графиком плотности над ним, значит, площадь над отрезком \([0;\ r]\) обязана равняться \(r^2\) при каждом \(r\) из отрезка \([0;\ 1]\). У постоянной плотности площадь росла бы пропорционально \(r\) — не подходит; площадь треугольника с вершиной в начале координат растёт пропорционально \(r^2\), поэтому ищем плотность в виде \(f(r) = kr\), где \(k > 0\).
Над отрезком \([0;\ r]\) такой график даёт треугольник с основанием \(r\) и высотой \(kr\) площади \(\frac{1}{2} \cdot r \cdot kr = \frac{k}{2}r^2\), а равенство \(\frac{k}{2}r^2 = r^2\) верно при каждом \(r\) тогда и только тогда, когда \(k = 2\).
Проверка: функция \(f(r) = 2r\) на отрезке \([0;\ 1]\) неотрицательна, вне отрезка равна нулю; фигура под её графиком — треугольник с основанием 1 и высотой 2 площади \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\); над отрезком \([0;\ r]\) площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot r \cdot 2r = r^2\), как и требовалось. Оба условия плотности выполнены: \[f(r) = \begin{cases} 0, \text{ если } r < 0 \text{ или } r > 1,\\ 2r, \text{ если } 0 \leqslant r \leqslant 1. \end{cases}\]
Ответ: \(f(r) = 2r\) при \(0 \leqslant r \leqslant 1\) и \(f(r) = 0\) вне отрезка \([0;\ 1]\).
В круге единичного радиуса выбирают случайную точку. Постройте график функции плотности распределения случайной величины \(R\) «расстояние от выбранной точки до центра круга».
Случайная величина \(R\) — «расстояние от выбранной точки до центра круга», а радиус круга равен 1. Расстояние от точки круга до его центра не больше радиуса и не меньше нуля, поэтому значения \(R\) заполняют отрезок \([0;\ 1]\), а вне этого отрезка плотность равна нулю.
Точка выбирается в круге наудачу, поэтому вероятность попасть в какую-то его часть пропорциональна площади этой части — так же, как при выборе точки на отрезке вероятность пропорциональна длине промежутка.
Возьмём число \(r\) из отрезка \([0;\ 1]\). Событие \(R \leqslant r\) означает, что выбранная точка попала в круг радиуса \(r\) с тем же центром. Площадь этого круга равна \(\pi r^2\), площадь всего круга равна \(\pi \cdot 1^2\), поэтому \[\mathrm{P}(R \leqslant r) = \frac{\pi r^2}{\pi \cdot 1^2} = r^2.\]
Теперь найдём плотность. Вероятность промежутка равна площади фигуры под графиком плотности над ним, значит, площадь фигуры над отрезком \([0;\ r]\) обязана равняться \(r^2\) при каждом \(r\) из отрезка \([0;\ 1]\). У постоянной плотности график был бы горизонтальным отрезком, и площадь росла бы пропорционально \(r\) — не подходит. А площадь треугольника с вершиной в начале координат растёт пропорционально \(r^2\): при увеличении \(r\) вдвое вдвое растут и основание, и высота. Поэтому будем искать плотность в виде отрезка прямой, проходящей через начало координат: \(f(r) = kr\), где \(k > 0\).
Над отрезком \([0;\ r]\) такой график даёт треугольник с основанием \(r\) и высотой \(kr\), его площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot r \cdot kr = \frac{k}{2}r^2\). Равенство \(\frac{k}{2}r^2 = r^2\) верно при каждом \(r\) тогда и только тогда, когда \(k = 2\).
Проверка: функция \(f(r) = 2r\) на отрезке \([0;\ 1]\) неотрицательна, вне отрезка равна нулю; фигура под её графиком — треугольник с основанием 1 и высотой 2 площади \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\); над отрезком \([0;\ r]\) площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot r \cdot 2r = r^2\), как и требовалось. Оба условия плотности выполнены: \[f(r) = \begin{cases} 0, \text{ если } r < 0 \text{ или } r > 1,\\ 2r, \text{ если } 0 \leqslant r \leqslant 1. \end{cases}\]
Ответ: \(f(r) = 2r\) при \(0 \leqslant r \leqslant 1\) и \(f(r) = 0\) вне отрезка \([0;\ 1]\).
