Вопросы после параграфа §48 на странице 227, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина — числовая функция на множестве элементарных событий случайного опыта: каждому элементарному событию она ставит в соответствие число.
При бросании игральной кости элементарные события — шесть способов выпадения грани, а величина \(X\) «число выпавших очков» принимает значения 1; 2; 3; 4; 5; 6, каждое с вероятностью \(\frac{1}{6}\).
Если значений конечное или счётное множество, величина дискретна и её распределение записывают таблицей. Если значения заполняют целый числовой промежуток, величина непрерывна: положительными вероятностями обладают не отдельные числа, а промежутки, и распределение задают функцией плотности вероятности.
Ответ: Случайная величина — это числовая функция, определённая на множестве элементарных событий случайного опыта.
Величина непрерывна, когда её значения заполняют целый числовой промежуток.
Рост случайно выбранного взрослого человека: он не обязан попадать ровно на деление ростомера и может оказаться любым числом промежутка примерно от 140 до 220 см.
Время, за которое случайно выбранный школьник пробегает стометровку: секундомер показывает десятые и сотые доли секунды, более точный прибор показал бы и тысячные, а результат может быть любым числом промежутка, скажем, от 11 до 25 с.
Объём сока, который автомат наливает в стакан: автомат настроен на 200 мл, но наливает то чуть больше, то чуть меньше, и объём принимает любое значение из промежутка вокруг числа 200.
Ответ: Например, рост случайно выбранного человека, время бега на 100 м и объём сока, налитого автоматом в стакан: значения каждой из этих величин заполняют целый числовой промежуток.
Условий два, проверять нужно оба.
1) Функция неотрицательна: \(f(x) \geqslant 0\) при всех \(x\), иначе площадь части ниже оси абсцисс отвечала бы отрицательной вероятности.
2) Площадь фигуры между графиком функции \(y = f(x)\) и осью абсцисс равна 1: этой площади отвечает вероятность достоверного события, и другого числа здесь быть не может.
Если оба условия выполнены, то для любого отрезка \([a;\ b]\) вероятность события \(a \leqslant X \leqslant b\) равна площади криволинейной трапеции под графиком на этом отрезке.
Пример. Рассмотрим функцию \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } |x| \geqslant 1, \\ x + 1, \text{ если } {-1} < x < 0, \\ 1 - x, \text{ если } 0 \leqslant x < 1. \end{cases}\] Она неотрицательна при всех \(x\), а под её графиком лежит треугольник с основанием 2 и высотой 1 площади \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1\). Оба условия выполнены, значит, это функция плотности вероятности.
Ответ: Функция должна быть неотрицательной при всех \(x\), и площадь фигуры, заключённой между её графиком и осью абсцисс, должна равняться 1.
Нет. Возьмём функцию, равную \(0{,}5\) на отрезке \([0;\ 2]\) и нулю вне него: \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < 0 \text{ или } x > 2,\\ 0{,}5, \text{ если } 0 \leqslant x \leqslant 2. \end{cases}\]
Её значения при всех \(x\) неотрицательны, а под графиком лежит прямоугольник с основанием 2 и высотой \(0{,}5\) площади \(2 \cdot 0{,}5 = 1\): оба условия выполнены, это функция плотности.
Но непрерывной она не является: в точке \(x = 0\) значение скачком меняется с нуля на \(0{,}5\), а в точке \(x = 2\) — с \(0{,}5\) обратно на нуль. Площади такие скачки не мешают: изменение значения в отдельной точке площади не меняет.
Ответ: Нет: функция, равная \(0{,}5\) на отрезке \([0;\ 2]\) и нулю вне его, является функцией плотности, хотя в точках \(x = 0\) и \(x = 2\) её значение меняется скачком.
Случайная величина — это числовая функция, определённая на множестве элементарных событий случайного опыта: каждому элементарному событию она ставит в соответствие число.
Например, при бросании игральной кости элементарные события — шесть способов выпадения грани, а величина \(X\) «число выпавших очков» принимает значения 1; 2; 3; 4; 5; 6, каждое с вероятностью \(\frac{1}{6}\).
Множество значений случайной величины бывает устроено двояко. Если значений конечное или счётное множество, величину называют дискретной, и её распределение можно записать таблицей. Если же значения заполняют целый числовой промежуток, величину называют непрерывной: вероятности отдельных значений у неё, как правило, равны нулю, положительными вероятностями обладают не отдельные числа, а промежутки, и таблицей такое распределение не описать — для этого служит функция плотности вероятности.
Ответ: Случайная величина — это числовая функция, определённая на множестве элементарных событий случайного опыта.
Величина непрерывна, когда её значения заполняют целый числовой промежуток: между любыми двумя возможными значениями лежат и все промежуточные.
Рост случайно выбранного взрослого человека. Ростомер размечен делениями, но сам рост не обязан приходиться ровно на деление: он может оказаться любым числом между соседними делениями, и значения заполняют промежуток примерно от 140 до 220 см.
Время, за которое случайно выбранный школьник пробегает стометровку. Секундомер показывает десятые и сотые доли секунды, а более точный прибор показал бы и тысячные; результат может быть любым числом промежутка, скажем, от 11 до 25 с.
Объём сока, который автомат наливает в стакан. Автомат настроен на 200 мл, но наливает то чуть больше, то чуть меньше, и налитый объём принимает любое значение из промежутка вокруг числа 200.
Ответ: Например, рост случайно выбранного человека, время бега на 100 м и объём сока, налитого автоматом в стакан: значения каждой из этих величин заполняют целый числовой промежуток.
Условий два, и они равноправны — проверять нужно оба.
1) Функция неотрицательна: \(f(x) \geqslant 0\) при всех \(x\).
2) Площадь фигуры, заключённой между графиком функции \(y = f(x)\) и осью абсцисс, равна 1.
Если оба условия выполнены, то \(f(x)\) — функция плотности вероятности некоторой случайной величины, и для любого отрезка \([a;\ b]\) вероятность события \(a \leqslant X \leqslant b\) равна площади криволинейной трапеции под графиком на этом отрезке.
Второе условие нельзя заменить никаким другим числом: объединение всех элементарных событий случайного опыта — достоверное событие, его вероятность равна 1, а этой вероятности и отвечает вся площадь под графиком. Первое условие тоже обязательно: площадь части, лежащей ниже оси абсцисс, отвечала бы отрицательной вероятности, а таких не бывает.
Пример. Рассмотрим функцию \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } |x| \geqslant 1, \\ x + 1, \text{ если } {-1} < x < 0, \\ 1 - x, \text{ если } 0 \leqslant x < 1. \end{cases}\] Она неотрицательна при всех \(x\), а её график — ломаная, под которой лежит треугольник с основанием 2 и высотой 1 площади \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1\). Оба условия выполнены, значит, это функция плотности вероятности.
Ответ: Функция должна быть неотрицательной при всех \(x\), и площадь фигуры, заключённой между её графиком и осью абсцисс, должна равняться 1.
Нет, не обязательно, и в этом убеждает один пример.
Возьмём функцию, равную \(0{,}5\) на отрезке \([0;\ 2]\) и нулю вне этого отрезка: \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < 0 \text{ или } x > 2,\\ 0{,}5, \text{ если } 0 \leqslant x \leqslant 2. \end{cases}\]
Оба условия плотности она выполняет: её значения при всех \(x\) неотрицательны, а фигура под графиком — прямоугольник с основанием 2 и высотой \(0{,}5\), его площадь равна \(2 \cdot 0{,}5 = 1\). Значит, это функция плотности вероятности некоторой случайной величины.
Но непрерывной эта функция не является: в точке \(x = 0\) её значение скачком меняется с нуля на \(0{,}5\), а в точке \(x = 2\) — с \(0{,}5\) обратно на нуль. Площади такие скачки не мешают: изменение значения в отдельной точке не меняет площади фигуры под графиком.
Ответ: Нет: функция, равная \(0{,}5\) на отрезке \([0;\ 2]\) и нулю вне его, является функцией плотности, хотя в точках \(x = 0\) и \(x = 2\) её значение меняется скачком.
