Страница 222 номер 463, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава X. Элементы математической статистики. §46. Проверка статистических гипотез. Страница 222. Номер 463

Решение:

Игральный кубик бросили 100 раз, результаты бросаний: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Число очков} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Количество выпаданий} & 14 & 15 & 14 & 16 & 16 & 25 \\ \hline \end{array}\]

Проверка: \(14 + 15 + 14 + 16 + 16 + 25 = 100\) — учтены все сто бросаний.

Гипотеза: \(H\) — «кубик симметричный». Сразу по всем шести частотам её не проверить: совместного распределения шести частот мы не знаем, а критерий требует статистики с известным при верной гипотезе распределением.

Проверим гипотезу-следствие: если кубик симметричен, вероятность выпадения шестёрки равна \(\frac{1}{6}\); отвергнув следствие верной гипотезы, отвергнем и саму гипотезу.

Ожидаемое число выпаданий каждой грани равно \(\frac{100}{6} = \frac{50}{3} \approx 16{,}67\); частоты 14, 15, 14, 16 и 16 отличаются от него меньше чем на 3, и только частота 25 отклоняется больше чем на 8.

Уровень значимости: \(\alpha = 0{,}05\).

Статистика критерия: \(X\) — число шестёрок в серии из 100 бросаний; бросания независимы и одинаковы, поэтому при верной гипотезе-следствии \(X\) имеет биномиальное распределение \(Bi\left(100,\ \frac{1}{6}\right)\), а значит, \[\mathrm{E}X = np = 100 \cdot \frac{1}{6} = \frac{50}{3}, \qquad \mathrm{D}X = npq = 100 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{9}, \qquad \sqrt{\mathrm{D}X} = \frac{5\sqrt{5}}{3} \approx 3{,}73.\]

Критерий проверки: на уровне значимости \(0{,}05\) практически достоверно отклонение меньше двух стандартных отклонений (вероятность около \(0{,}95\)); вышло наблюдение за эти границы — гипотезу-следствие отвергаем.

\(25 - \frac{50}{3} = \frac{25}{3}\) — отклонение наблюдения. Сравним его с двумя стандартными отклонениями, возведя обе величины в квадрат, чтобы исход не зависел от округления: \(\left(\frac{25}{3}\right)^2 = \frac{625}{9}\), \(\left(2\sqrt{\mathrm{D}X}\right)^2 = 4\mathrm{D}X = 4 \cdot \frac{125}{9} = \frac{500}{9}\), и \(\frac{625}{9} > \frac{500}{9}\).

Значит, при симметричном кубике 25 шестёрок в ста бросаниях — маловероятное событие: гипотезу-следствие «вероятность выпадения шестёрки равна одной шестой» на уровне значимости \(0{,}05\) отвергаем, а с ней и исходную гипотезу.

Ответ: данные противоречат предположению о симметричности кубика: гипотезу «кубик симметричный» на уровне значимости \(0{,}05\) следует отвергнуть.

Решение:

Игральный кубик бросили 100 раз. Результаты бросаний:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Число очков} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Количество выпаданий} & 14 & 15 & 14 & 16 & 16 & 25 \\ \hline \end{array}\]

Проверка: \(14 + 15 + 14 + 16 + 16 + 25 = 100\) — в таблице учтены все сто бросаний.

Гипотеза: \(H\) — «кубик симметричный». Проверить её сразу по всем шести частотам нельзя: критерий требует статистики, распределение которой при верной гипотезе известно, а совместного распределения шести частот мы не знаем.

Поэтому проверим гипотезу-следствие: если кубик симметричен, то вероятность выпадения шестёрки равна \(\frac{1}{6}\). Это рассуждение от противного: следствие верной гипотезы обязано быть верным, поэтому, отвергнув следствие, мы отвергнем и саму гипотезу о симметричности.

Шестёрка выбрана не случайно. При симметричном кубике ожидаемое число выпаданий каждой грани равно \(\frac{100}{6} = \frac{50}{3} \approx 16{,}67\). Частоты 14, 15, 14, 16 и 16 отличаются от этого числа меньше чем на 3, и только частота 25 отклоняется от него больше чем на 8 — сомнение вызывает именно шестёрка.

Уровень значимости: \(\alpha = 0{,}05\).

Статистика критерия: \(X\) — число выпаданий шестёрки в серии из 100 бросаний. Бросания независимы и одинаковы, поэтому при верной гипотезе-следствии величина \(X\) имеет биномиальное распределение \(Bi\left(100,\ \frac{1}{6}\right)\), а значит,

\[\mathrm{E}X = np = 100 \cdot \frac{1}{6} = \frac{50}{3}, \qquad \mathrm{D}X = npq = 100 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{9}, \qquad \sqrt{\mathrm{D}X} = \frac{5\sqrt{5}}{3} \approx 3{,}73.\]

Критерий проверки: на уровне значимости \(0{,}05\) практически достоверно, что число шестёрок отклонится от своего математического ожидания меньше чем на два стандартных отклонения (вероятность такого отклонения около \(0{,}95\)). Если наблюдённое значение выйдет за эти границы, произойдёт маловероятное событие и гипотезу-следствие придётся отвергнуть.

Отклонение наблюдения от математического ожидания равно \(25 - \frac{50}{3} = \frac{25}{3}\). Сравним его с двумя стандартными отклонениями точно, возведя обе величины в квадрат: корень из \(\frac{125}{9}\) нацело не извлекается, и исход проверки не должен зависеть от округления. Получаем \(\left(\frac{25}{3}\right)^2 = \frac{625}{9}\) и \(\left(2\sqrt{\mathrm{D}X}\right)^2 = 4\mathrm{D}X = 4 \cdot \frac{125}{9} = \frac{500}{9}\). Поскольку \(\frac{625}{9} > \frac{500}{9}\), отклонение больше двух стандартных отклонений.

Те же границы в округлённом виде: от \(\frac{50 - 10\sqrt{5}}{3} \approx 9{,}21\) до \(\frac{50 + 10\sqrt{5}}{3} \approx 24{,}12\), а наблюдение 25 вышло за правую границу.

Значит, при симметричном кубике 25 шестёрок в ста бросаниях — маловероятное событие, и гипотезу-следствие «вероятность выпадения шестёрки равна одной шестой» на уровне значимости \(0{,}05\) следует отвергнуть. Вместе с ней отвергается и исходная гипотеза: будь кубик симметричным, это следствие было бы верным. Остальные пять частот от ожидаемого числа выпаданий почти не отличаются — отвергает гипотезу именно шестёрка.