Страница 228 номер 464, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Рассмотрите графики функций, изображённые на рисунке 157. Какие из них являются плотностью распределения случайной величины? Объясните свой выбор.
Плотность распределения неотрицательна при всех \(x\), и площадь фигуры между её графиком и осью абсцисс равна 1. Проверим оба условия у каждого из четырёх графиков.
График 1). Спускаясь из точки \((0;\ 0{,}2)\), ломаная пересекает ось абсцисс при \(x = 2{,}4\) и до точки \((5;\ 0)\) идёт ниже оси: при \(x = 3\) её значение равно \(-0{,}05\). Отрицательных значений у плотности быть не может — первое условие нарушено, и площадь считать уже не нужно: это не плотность.
График 2). Функция неотрицательна при всех \(x\). Фигура под графиком — трапеция с основаниями 7 (от \(-2\) до 5) и 3 (горизонтальный участок от 0 до 3) и высотой \(0{,}2\), её площадь \[\frac{7 + 3}{2} \cdot 0{,}2 = 1.\] Оба условия выполнены — это функция плотности распределения.
График 3). Функция неотрицательна при всех \(x\), а фигура под графиком распадается на две части.
\(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0{,}3 = 0{,}6\) — площадь треугольника слева с основанием 4 (от \(-2\) до 2) и высотой \(0{,}3\).
\(\frac{3 + 1}{2} \cdot 0{,}2 = 0{,}4\) — площадь трапеции справа с основаниями 3 (от 2 до 5) и 1 (от 3 до 4) и высотой \(0{,}2\).
Вся площадь равна \[0{,}6 + 0{,}4 = 1.\] Оба условия выполнены — это функция плотности распределения.
График 4). Функция неотрицательна, но под горизонтальным участком \(y = 1{,}5\) при \(0 \leqslant x \leqslant 2\) лежит прямоугольник с основанием 2 и высотой \(1{,}5\) площади \(2 \cdot 1{,}5 = 3\), а слева и справа от него есть ещё части фигуры. Площадь больше 1, второе условие нарушено — это не плотность.
Ответ: функциями плотности распределения являются графики 2) и 3); графики 1) и 4) плотностями не являются — у первого есть отрицательные значения, а у четвёртого площадь под графиком больше 1.
Рассмотрите графики функций, изображённые на рисунке 157. Какие из них являются плотностью распределения случайной величины? Объясните свой выбор.
Функция является плотностью распределения некоторой случайной величины тогда и только тогда, когда выполнены два условия: она неотрицательна при всех \(x\) и площадь фигуры, заключённой между её графиком и осью абсцисс, равна 1. Оба условия и проверим у каждого из четырёх графиков.
График 1). Спускаясь из точки \((0;\ 0{,}2)\), ломаная пересекает ось абсцисс при \(x = 2{,}4\) и дальше, до точки \((5;\ 0)\), идёт ниже оси: например, в точке \(x = 3\) её значение равно \(-0{,}05\). Первое условие нарушено — отрицательных значений у плотности быть не может, и площадь считать уже не нужно. Этот график плотностью не является.
График 2). Функция неотрицательна при всех \(x\). Фигура под графиком — трапеция с основаниями 7 (отрезок \([-2;\ 5]\) на оси абсцисс) и 3 (горизонтальный участок от 0 до 3) и высотой \(0{,}2\), её площадь равна \[\frac{7 + 3}{2} \cdot 0{,}2 = 1.\] Оба условия выполнены — это функция плотности распределения.
График 3). Функция неотрицательна при всех \(x\). Фигура под графиком распадается на две части. Слева — треугольник с основанием 4 (от \(-2\) до 2) и высотой \(0{,}3\), его площадь \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0{,}3 = 0{,}6\). Справа — трапеция с основаниями 3 (от 2 до 5) и 1 (от 3 до 4) и высотой \(0{,}2\), её площадь \(\frac{3 + 1}{2} \cdot 0{,}2 = 0{,}4\). Вся площадь равна \[0{,}6 + 0{,}4 = 1.\] Оба условия выполнены — это функция плотности распределения.
График 4). Функция неотрицательна, но площадь под ней больше 1. Достаточно посмотреть на горизонтальный участок \(y = 1{,}5\) при \(0 \leqslant x \leqslant 2\): под ним лежит прямоугольник с основанием 2 и высотой \(1{,}5\) площади \(2 \cdot 1{,}5 = 3\), а слева и справа от него есть ещё части фигуры. Второе условие нарушено — этот график плотностью не является.
Ответ: функциями плотности распределения являются графики 2) и 3); графики 1) и 4) плотностями не являются — у первого есть отрицательные значения, а у четвёртого площадь под графиком больше 1.
