Вопросы после параграфа §46 на странице 221, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Нет, нельзя. Проверка гипотезы похожа на доказательство от противного, но приводит не к невозможному факту, а лишь к очень маловероятному событию. Поэтому гипотезу и отвергают не наверняка, а почти наверняка, допуская малую вероятность ошибки; окончательного вывода о верности гипотезы такая проверка дать не может.

Единственное, что можно сделать, — отвергнуть противоположную гипотезу с заданной наперёд малой вероятностью ошибки. Тогда исходная гипотеза принимается как практически достоверная, но и это не доказательство: малая вероятность ошибки остаётся.

Ответ: Нет, статистическую гипотезу доказать нельзя; можно только отвергнуть противоположную ей гипотезу с заданной наперёд малой вероятностью ошибки, и тогда исходная гипотеза принимается как практически достоверная.

Нужно отвергнуть противоположную ей гипотезу \(\overline{H}\) на заранее выбранном малом уровне значимости. Тогда исходная гипотеза \(H\) принимается как практически достоверная, а вероятность ошибки не превосходит этого уровня значимости.

Например, чтобы принять как практически достоверную гипотезу «монета не симметрична», надо собрать данные и отвергнуть противоположную гипотезу «монета симметрична»: при симметричной монете наблюдённое отклонение числа орлов от ожидаемого должно оказаться настолько большим, что его вероятность меньше выбранного уровня значимости.

Ни увеличение числа наблюдений само по себе, ни повторение проверки такого права не дают: если гипотезу просто не удалось отвергнуть, она остаётся лишь правдоподобной.

Ответ: Нужно отвергнуть противоположную гипотезу \(\overline{H}\) на заданном наперёд малом уровне значимости — только тогда исходная гипотеза принимается как практически достоверная.

Противоположная гипотеза утверждает ровно то, что отрицает исходная. Гипотеза «монета не симметрична» означает, что вероятность выпадения орла не равна \(0{,}5\). Отрицание этого — вероятность выпадения орла равна \(0{,}5\), то есть гипотеза «монета симметрична», в записи \(\overline{H} = \{p = 0{,}5\}\).

Формулировать её надо утвердительно. Запись «монета не несимметрична» означает то же самое, но двойное отрицание читается с трудом и легко принимается за исходную гипотезу; а «монета несимметрична с другой вероятностью» — вообще не отрицание исходной гипотезы, а её частный случай.

Ответ: Противоположная гипотеза — «монета симметрична», то есть вероятность выпадения орла равна \(0{,}5\).

Нет, не значит. У проверки гипотезы два исхода. Если собранные данные привели к маловероятному событию, гипотеза \(H\) отвергается и принимается противоположная гипотеза \(\overline{H}\). Если же ничего маловероятного не произошло, то никакую гипотезу нельзя ни принять, ни отвергнуть — так же как в доказательстве от противного отсутствие противоречия не доказывает и не опровергает ничего.

Значит, неудача с отвержением гипотезы \(H\) не даёт никаких оснований трогать гипотезу \(\overline{H}\). Чтобы отвергнуть её, нужна отдельная проверка: предположить, что верна она, и снова искать маловероятное событие.

Ответ: Нет: если отвергнуть гипотезу \(H\) не удалось, то никакую гипотезу нельзя ни принять, ни отвергнуть, и противоположная гипотеза \(\overline{H}\) остаётся непроверенной.

Нет. Это означает лишь, что гипотеза правдоподобна: собранные данные ей не противоречат. Нельзя считать гипотезу верной только потому, что её не удалось отвергнуть при одной проверке.

Причина в устройстве проверки. Гипотезу отвергают тогда, когда при ней происходит очень маловероятное событие; не произошло — значит, наблюдения с гипотезой согласуются. Но точно так же они могут согласовываться и с другими гипотезами. Например, если монету бросили 100 раз и орёл выпал 45 раз, гипотезу «монета симметрична» отвергнуть нельзя, но те же данные не противоречат и предположению, что вероятность выпадения орла равна \(0{,}45\).

Ответ: Нет, гипотеза лишь правдоподобна: данные ей не противоречат, но верной это её не делает.

Уровень значимости — это малая вероятность ошибки, которую мы заранее соглашаемся допустить при проверке гипотезы. Ошибка здесь вполне определённого вида: верная гипотеза будет отвергнута. Вероятности, меньшие уровня значимости, считают статистически незначимыми, и появление такого маловероятного события служит поводом отвергнуть гипотезу.

Например, при уровне значимости \(\alpha = 0{,}05\) гипотезу отвергают, если при верной гипотезе наблюдённое событие имело бы вероятность меньше \(0{,}05\). Тем самым мы соглашаемся, что примерно в пяти случаях из ста верная гипотеза будет отвергнута напрасно.

Уровень значимости — не вероятность того, что гипотеза неверна: гипотеза есть утверждение, а не случайное событие, и вероятности у неё в этой схеме нет.

Ответ: Уровень значимости — это заранее выбранная малая вероятность ошибочно отвергнуть верную гипотезу; меньшие вероятности считаются статистически незначимыми.

Выбор уровня значимости зависит от того, насколько опасны последствия при ошибочном отказе от гипотезы: чем более ответственное решение мы принимаем, тем меньше должен быть уровень значимости.

Меньший уровень значимости требует для отвержения гипотезы более редкого события, то есть отвергнуть гипотезу становится труднее, зато вероятность ошибиться при отвержении меньше. Поэтому там, где ошибочный отказ от гипотезы дорого стоит (допуск лекарства к применению, проверка безопасности конструкции), берут \(\alpha = 0{,}001\) и меньше, а там, где цена ошибки невелика, хватает \(\alpha = 0{,}05\) или \(\alpha = 0{,}1\).

Ответ: От того, насколько опасны последствия ошибочного отказа от гипотезы: чем ответственнее принимаемое решение, тем меньше должен быть уровень значимости.

Эта фраза значит, что собранные данные при верной гипотезе дали событие с вероятностью меньше \(0{,}1\); такое событие сочли слишком маловероятным и гипотезу признали неправдоподобной. При этом допускается, что гипотеза отвергнута ошибочно, но вероятность такой ошибки не больше \(0{,}1\).

Уровень значимости \(0{,}1\) высок: ошибочный отказ от верной гипотезы допускается здесь примерно в одном случае из десяти. Значит, вывод не слишком надёжен, и на меньшем уровне значимости — например, \(0{,}05\) или \(0{,}01\) — ту же гипотезу отвергнуть, возможно, уже не удалось бы.

Фраза не означает ни того, что вероятность гипотезы равна \(0{,}1\), ни того, что гипотеза верна с вероятностью \(0{,}9\): вероятности у самой гипотезы здесь нет.

Ответ: Это значит, что при верной гипотезе наблюдалось событие с вероятностью меньше \(0{,}1\), поэтому гипотезу признали неправдоподобной и отвергли, допуская, что отвергнута она ошибочно, с вероятностью такой ошибки не больше \(0{,}1\).