Страница 218 номер 458, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(n = 50\) — число обработанных бюллетеней
\(X = 34\) — число голосов, отданных за кандидата А.
Найти: оценку доли голосов, которая будет отдана за кандидата А., и доверительный интервал для этой доли по правилу «плюс-минус три стандартных отклонения».
Решение:
Доля голосов за кандидата А. — вероятность \(p\) того, что наудачу взятый бюллетень отдан за него; обработанные бюллетени — случайная выборка.
\(\hat{p} = \frac{34}{50} = 0{,}68\) — частота, точечная оценка доли; остальные 16 бюллетеней — за кандидата К.
500 старшеклассников в расчёт не входят: надёжность оценки зависит от объёма выборки, а не совокупности.
Практически достоверно событие \(|\hat{p} - p| < 3s\), то есть \((\hat{p} - p)^2 < 9s^2\), где \(s\) — стандартное отклонение частоты \(\hat{p}\).
Число успехов \(X\) в серии из \(n\) испытаний Бернулли имеет дисперсию \(np(1 - p)\), поэтому \[s^2 = \mathrm{D}\hat{p} = \mathrm{D}\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1 - p) = \frac{p - p^2}{n}.\]
Подставим \(\hat{p} = 0{,}68\) и \(n = 50\): \[(0{,}68 - p)^2 < 9 \cdot \frac{p - p^2}{50}.\]
Умножим обе части на 50: \(50(0{,}68 - p)^2 < 9(p - p^2)\), то есть \(50p^2 - 68p + 23{,}12 < 9p - 9p^2\), откуда \[59p^2 - 77p + 23{,}12 < 0.\]
Дискриминант: \(77^2 - 4 \cdot 59 \cdot 23{,}12 = 5929 - 5456{,}32 = 472{,}68\), \(\sqrt{472{,}68} = 21{,}7412\ldots\)
\[p_1 = \frac{77 - \sqrt{472{,}68}}{118} = 0{,}46829\ldots, \qquad p_2 = \frac{77 + \sqrt{472{,}68}}{118} = 0{,}83679\ldots\]
Трёхчлен отрицателен между корнями (ветви параболы вверх): \(0{,}46829\ldots < p < 0{,}83679\ldots\)
Округлим до тысячных: левую границу вниз, правую вверх — чтобы интервал не сузился.
Проверка: \(59 \cdot 0{,}468^2 - 77 \cdot 0{,}468 + 23{,}12 = 0{,}006416 > 0\) и \(59 \cdot 0{,}837^2 - 77 \cdot 0{,}837 + 23{,}12 = 0{,}004571 > 0\) — обе границы вне промежутка решений, округление интервал расширило.
С вероятностью приблизительно \(0{,}997\) доля голосов за кандидата А. принадлежит интервалу \((0{,}468;\ 0{,}837)\).
Ответ: доля голосов за кандидата А. оценивается числом \(0{,}68\); доверительный интервал для этой доли — \((0{,}468;\ 0{,}837)\).
Дано:
\(n = 50\) — число обработанных бюллетеней
\(X = 34\) — число голосов, отданных за кандидата А.
Найти: оценку доли голосов, которая будет отдана за кандидата А., и доверительный интервал для этой доли по правилу «плюс-минус три стандартных отклонения».
Решение:
Обработанные бюллетени — случайная выборка из всех поданных голосов. Доля голосов за кандидата А. — это вероятность \(p\) того, что наудачу взятый бюллетень окажется отдан за него.
Точечная оценка доли — частота: \(\hat{p} = \frac{34}{50} = 0{,}68\). Остальные 16 бюллетеней из 50 отданы за кандидата К.
Право голоса имеют 500 старшеклассников, но это число в расчёт не входит: точность и надёжность выборочной оценки зависят от объёма выборки и не зависят от объёма всей совокупности.
Будем считать практически достоверным событие «частота отклоняется от своего математического ожидания меньше чем на три стандартных отклонения», то есть событие \(|\hat{p} - p| < 3s\), или, что то же самое, \((\hat{p} - p)^2 < 9s^2\), где \(s\) — стандартное отклонение частоты \(\hat{p}\).
Число голосов за кандидата А. в выборке — это число успехов \(X\) в серии из \(n\) испытаний Бернулли, его дисперсия равна \(np(1 - p)\), поэтому
\[s^2 = \mathrm{D}\hat{p} = \mathrm{D}\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1 - p) = \frac{p - p^2}{n}.\]
Подставим в неравенство это выражение, а также \(\hat{p} = 0{,}68\) и \(n = 50\):
\[(0{,}68 - p)^2 < 9 \cdot \frac{p - p^2}{50}.\]
Умножим обе части на 50: \(50(0{,}68 - p)^2 < 9(p - p^2)\), то есть \(50p^2 - 68p + 23{,}12 < 9p - 9p^2\). Перенесём всё в левую часть и получим квадратное неравенство относительно \(p\):
\[59p^2 - 77p + 23{,}12 < 0.\]
Дискриминант квадратного трёхчлена равен \(77^2 - 4 \cdot 59 \cdot 23{,}12 = 5929 - 5456{,}32 = 472{,}68\), и \(\sqrt{472{,}68} = 21{,}7412\ldots\) Корни трёхчлена:
\[p_1 = \frac{77 - \sqrt{472{,}68}}{118} = 0{,}46829\ldots, \qquad p_2 = \frac{77 + \sqrt{472{,}68}}{118} = 0{,}83679\ldots\]
Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен отрицателен между корнями: \(0{,}46829\ldots < p < 0{,}83679\ldots\) Округлим границы до тысячных: левую вниз, правую вверх — чтобы интервал не сузился и доверие к нему не упало.
Проверка: \(59 \cdot 0{,}468^2 - 77 \cdot 0{,}468 + 23{,}12 = 0{,}006416 > 0\) и \(59 \cdot 0{,}837^2 - 77 \cdot 0{,}837 + 23{,}12 = 0{,}004571 > 0\). Обе границы лежат вне промежутка решений, то есть округление интервал только расширило.
С большой вероятностью — приблизительно \(0{,}997\) — доля голосов за кандидата А. принадлежит интервалу \((0{,}468;\ 0{,}837)\). Интервал получился очень широким: его длина почти \(0{,}37\), и он содержит число \(0{,}5\). Значит, по пятидесяти бюллетеням исход второго тура предсказать нельзя — возможно и то, что за кандидата А. будет отдано меньше половины голосов. Чтобы сделать интервал короче, нужно обработать больше бюллетеней.
Ответ: доля голосов за кандидата А. оценивается числом \(0{,}68\); доверительный интервал для этой доли — \((0{,}468;\ 0{,}837)\).
